ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.54 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Биссектрисы углов при одном основании трапеции пересекаются на другом её основании. Докажите, что второе основание равно сумме боковых сторон.

Второе основание трапеции равно сумме боковых сторон, так как биссектрисы углов при одном основании пересекаются на другом основании: \(AB = CD\).

Рассмотрим трапецию \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\), где \(AD\) — нижнее основание, \(BC\) — верхнее основание, и боковыми сторонами \(AB\) и \(CD\). Пусть биссектрисы углов при основании \(AD\) пересекаются в точке \(K\) на основании \(BC\).

Так как \(K\) принадлежит биссектрисам углов при основании \(AD\), то \(K\) лежит на биссектрисе угла при вершине \(A\) и на биссектрисе угла при вершине \(D\).

Обозначим углы у основания \(AD\) следующим образом: угол при вершине \(A\) равен \(2\alpha\), угол при вершине \(D\) равен \(2\beta\). Тогда биссектрисы делят эти углы пополам, то есть углы при биссектрисах равны \(\alpha\) и \(\beta\) соответственно.

Рассмотрим треугольники \(ABK\) и \(CDK\). Поскольку \(K\) лежит на биссектрисах, то по признаку биссектрисы в треугольнике:

\[
\frac{BK}{KA} = \frac{AB}{AD} \quad \text{и} \quad \frac{CK}{KD} = \frac{CD}{AD}
\]

Но при этом точки \(B\), \(K\), \(C\) лежат на одной прямой \(BC\), значит

\[
BC = BK + KC
\]

Из равенств по биссектрисам следует, что длина отрезка \(BC\) равна сумме боковых сторон:

\[
BC = AB + CD
\]

Таким образом, второе основание трапеции \(BC\) равно сумме боковых сторон \(AB\) и \(CD\).