ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.57 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Диагонали равнобокой трапеции являются биссектрисами её острых углов и точкой пересечения делятся в отношении 5 : 13. Найдите площадь трапеции, если её высота равна 90 см.

Площадь трапеции \( S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \).

Дано: \( h = 90 \) см, \( a + b = 180 \), \( a — b = \frac{450}{13} \).

Решение:

1. \( a + b = 180 \)
2. \( a — b = \frac{450}{13} \)

Сложим уравнения:

\( 2a = 180 + \frac{450}{13} = \frac{2790}{13} \)

\( a = \frac{2790}{26} \)

Теперь найдем \( b \):

\( b = 180 — a = 180 — \frac{2790}{26} = \frac{180 \cdot 26 — 2790}{26} = \frac{4680 — 2790}{26} = \frac{1890}{26} \)

Площадь:

\( S = \frac{(180) \cdot 90}{2} = 8100 \) см².

Дано, что высота трапеции \( h = 90 \) см и диагонали делятся в отношении \( 5:13 \). Обозначим основания трапеции как \( a \) (большее) и \( b \) (меньшее).

Согласно условию, точка пересечения диагоналей делит их в отношении \( \frac{5}{13} \). Это можно записать как:

\[
\frac{a — b}{h} = \frac{5}{13}
\]

Подставим значение высоты:

\[
\frac{a — b}{90} = \frac{5}{13}
\]

Умножим обе стороны на 90:

\[
a — b = \frac{5}{13} \cdot 90 = \frac{450}{13}
\]

Теперь у нас есть два уравнения:

1. \( a + b = 180 \)
2. \( a — b = \frac{450}{13} \)

Сложим оба уравнения:

\[
(a + b) + (a — b) = 180 + \frac{450}{13}
\]

Это упрощается до:

\[
2a = 180 + \frac{450}{13}
\]

Найдем общий знаменатель:

\[
180 = \frac{2340}{13}
\]

Теперь подставим:

\[
2a = \frac{2340 + 450}{13} = \frac{2790}{13}
\]

Разделим на 2:

\[
a = \frac{2790}{26}
\]

Теперь найдем \( b \):

\[
b = 180 — a = 180 — \frac{2790}{26} = \frac{180 \cdot 26 — 2790}{26} = \frac{4680 — 2790}{26} = \frac{1890}{26}
\]

Теперь мы можем найти площадь трапеции:

\[
S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} = \frac{(180) \cdot 90}{2} = 8100
\]

Площадь трапеции составляет 8100 см².