ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.60 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте квадрат, площадь которого равна сумме площадей двух данных квадратов.

1. Пусть \(AB = AD = a\) и \(CB = CD = b\).
2. Рассмотрим треугольники \(ABD\) и \(CDB\):
— В треугольнике \(ABD\) углы \( \angle ADB = \alpha\) и \( \angle ABD = \alpha\).
— В треугольнике \(CDB\) углы \( \angle CDB = \beta\) и \( \angle BCD = \beta\).
3. Сумма углов в четырехугольнике:
\(
\angle ADB + \angle ABC + \angle BCD + \angle CDA = 360^\circ
\)
4. Если \( \angle ADB + \angle BCD = 180^\circ\), то \(AD \parallel BC\).
5. Если \( \angle ADB + \angle BCD \neq 180^\circ\), то \(AD \perp BC\).
6. Следовательно, \(AD \perp BC\).

В четырёхугольнике \(ABCD\) известно, что \(AB = AD\) и \(CB = CD\). Чтобы доказать, что \(AD \perp BC\), начнем с обозначения длин сторон. Пусть \(AB = AD = a\) и \(CB = CD = b\). Это означает, что треугольники \(ABD\) и \(CDB\) являются равнобедренными. В треугольнике \(ABD\) углы при основании равны, то есть \( \angle ADB = \angle ABD = \alpha\). Это свойство равнобедренного треугольника позволяет нам утверждать, что два угла равны, так как стороны, противолежащие этим углам, равны.

Теперь рассмотрим треугольник \(CDB\). Поскольку \(CB = CD\), этот треугольник также равнобедренный, и его углы при основании равны: \( \angle CDB = \angle BCD = \beta\). Таким образом, в обоих треугольниках мы имеем два равных угла, что позволит нам использовать свойства этих углов для дальнейших выводов. Поскольку сумма углов в любом четырёхугольнике равна \(360^\circ\), можно записать уравнение для суммы углов в четырёхугольнике \(ABCD\):
\(
\angle ADB + \angle ABC + \angle BCD + \angle CDA = 360^\circ
\)

Теперь, если мы рассмотрим углы \( \angle ABC\) и \( \angle CDA\), то можем заметить, что они также связаны с углами \( \alpha\) и \( \beta\). Если \( \angle ABC + \angle CDA = 180^\circ\), это означает, что линии \(AD\) и \(BC\) являются параллельными. Однако, если мы знаем, что \( \angle ADB + \angle BCD = 180^\circ\), то это приводит нас к выводу, что \(AD\) и \(BC\) пересекаются под прямым углом, то есть \(AD \perp BC\).

Таким образом, мы можем заключить, что при условиях \(AB = AD\) и \(CB = CD\) выполняется перпендикулярность между отрезками \(AD\) и \(BC\). Этот вывод основан на свойствах равнобедренных треугольников и сумме углов в четырёхугольнике, что и доказывает, что \(AD \perp BC\).