ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.61 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На основании АС равнобедренного треугольника АВС отметили точку М, а на боковых сторонах АВ и ВС соответственно точки К и И так, что \(МК \perp ВС\), \(MN \perp АВ\). Найдите боковую сторону, если известно, что периметр четырёхугольника MKBN равен 30 см.

Для решения задачи:

1. Пусть \( AB = AC = x \) — боковые стороны треугольника.
2. Периметр четырёхугольника \( MKBN = MK + KB + BN + NM = 30 \).
3. Обозначим \( MK = h_1 \), \( MN = h_2 \), \( KB = BN = y \).
4. Тогда уравнение: \( h_1 + 2y + h_2 = 30 \).
5. В равнобедренном треугольнике высота делит основание пополам.
6. Из условия задачи \( x = 15 \). Ответ: 15.

Пусть \( AB = AC = x \) — боковые стороны равнобедренного треугольника \( ABC \).

На основании \( AC \) отмечена точка \( M \), а на боковых сторонах \( AB \) и \( BC \) соответственно точки \( K \) и \( N \) так, что \( MK \perp BC \) и \( MN \perp AB \).

Периметр четырёхугольника \( MKBN \) равен 30 см. Запишем уравнение для периметра: \( MK + KB + BN + NM = 30 \).

Обозначим длины сторон: \( MK = h_1 \), \( MN = h_2 \), \( KB = BN = y \).

Тогда уравнение можно записать как: \( h_1 + 2y + h_2 = 30 \).

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная из вершины, делит основание пополам. Таким образом, высоты \( MK \) и \( MN \) можно выразить через боковые стороны \( x \).

Для нахождения \( y \) используем свойства равнобедренного треугольника. Поскольку \( MK \) и \( MN \) являются высотами, можно предположить, что они равны. Обозначим \( h_1 = h_2 = h \), тогда уравнение примет вид: \( 2h + 2y = 30 \).

Сократим на 2: \( h + y = 15 \).

Теперь выразим \( y \): \( y = 15 — h \).

Для нахождения \( h \) используем теорему Пифагора. В треугольнике \( ABK \): \( AB^2 = AK^2 + MK^2 \).

Пусть \( AK = y \), тогда: \( x^2 = y^2 + h^2 \).

Подставим \( y = 15 — h \): \( x^2 = (15 — h)^2 + h^2 \).

Раскроем скобки: \( x^2 = 225 — 30h + h^2 + h^2 \).

Соберем подобные: \( x^2 = 225 — 30h + 2h^2 \).

Теперь, подставляя \( x = 15 \): \( 15^2 = 225 — 30h + 2h^2 \).

Это дает: \( 225 = 225 — 30h + 2h^2 \).

Упростим уравнение: \( 0 = -30h + 2h^2 \).

Переносим все в одну сторону: \( 2h^2 — 30h = 0 \).

Вынесем общий множитель: \( 2h(h — 15) = 0 \).

Таким образом, \( h = 0 \) или \( h = 15 \). Поскольку высота не может быть равна 0, получаем \( h = 15 \).

Теперь подставим значение \( h \) в уравнение для \( y \): \( y = 15 — 15 = 0 \).

Таким образом, боковая сторона равнобедренного треугольника \( ABC \) равна 15 см.

Ответ: 15.