ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.64 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Диагонали равнобокой трапеции ABCD (ВС \(\perp\) AD) пересекаются в точке М. Известно, что \(\angle CMD = \angle BAD\). Докажите, что \(BC = AB\).

1. Рассмотрим трапецию \(ABCD\) с основаниями \(AB\) и \(CD\), где \(AB \parallel CD\) и \(BC \perp AD\).
2. Углы \(\angle CMD = \angle BAD\) по условию.
3. Треугольники \(CMD\) и \(BAD\) подобны по углу.
4. Из подобия следует, что \(\frac{CM}{BA} = \frac{MD}{AD}\).
5. Поскольку \(AD = BC\), то \(\frac{CM}{AB} = \frac{MD}{BC}\).
6. Также \(\frac{BC}{AB} = \frac{MD}{CM}\).
7. Углы равны, следовательно, \(BC = AB\).

Рассмотрим равнобокую трапецию \(ABCD\) с основаниями \(AB\) и \(CD\), где \(AB \parallel CD\) и \(BC \perp AD\). Обозначим точки пересечения диагоналей \(AC\) и \(BD\) как \(M\).

Из условия задачи известно, что \(\angle CMD = \angle BAD\). Это означает, что треугольники \(CMD\) и \(BAD\) являются подобными.

Поскольку углы \(\angle CMD\) и \(\angle BAD\) равны, мы можем записать следующее соотношение по подобию треугольников:

\[
\frac{CM}{AB} = \frac{MD}{AD}
\]

Поскольку \(AD = BC\), это соотношение можно переписать как:

\[
\frac{CM}{AB} = \frac{MD}{BC}
\]

Также из подобия треугольников следует, что:

\[
\frac{BC}{AB} = \frac{MD}{CM}
\]

Теперь, поскольку \(\angle CMD = \angle BAD\), это также указывает на равенство соответствующих сторон в этих треугольниках.

Таким образом, из равенства углов и подобия треугольников можно сделать вывод, что:

\[
BC = AB
\]

Следовательно, мы доказали, что в равнобокой трапеции \(ABCD\) с данными условиями выполняется равенство \(BC = AB\).