ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.67 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Перпендикуляр, опущенный из вершины угла прямоугольника на его диагональ, делит эту диагональ на отрезки, длины которых относятся как \(1 : 3\). Найдите угол между диагоналями прямоугольника.

Угол между диагоналями прямоугольника равен \(60^\circ\).

Угол между диагоналями прямоугольника равен \(60^\circ\). Для решения этой задачи рассмотрим следующие шаги. Во-первых, пусть длина диагонали прямоугольника равна \(2a\). Тогда длины отрезков диагонали будут \(a\) и \(3a\) соответственно, так как перпендикуляр, опущенный из вершины угла на диагональ, делит ее в отношении \(1:3\). Применяя теорему Пифагора, получаем уравнение \(a^2 + (3a)^2 = (2a)^2\), которое упрощается до \(10a^2 = 4a^2\), откуда следует, что \(a = 0\), что невозможно. Следовательно, диагонали прямоугольника должны быть равны. В равнобедренном прямоугольнике диагонали перпендикулярны, поэтому угол между ними составляет \(90^\circ\). Таким образом, ответ: угол между диагоналями прямоугольника равен \(60^\circ\).