ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.69 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Высоты BN и DM ромба ABCD, проведённые из его тупых углов В и D, пересекаются в точке F. Найдите углы ромба, если \(NF : FB = MF : FD = 1 : 2\).

Углы ромба ABCD равны \(60^\circ\) и \(120^\circ\).

Решение заключается в том, что высоты BN и DM пересекаются в точке F, и дано отношение отрезков \(NF : FB = 1 : 2\) и \(MF : FD = 1 : 2\). Обозначим \(NF = x\) и \(FB = 2x\), тогда \(NB = 3x\). Аналогично, обозначим \(MF = y\) и \(FD = 2y\), тогда \(MD = 3y\). Из подобия треугольников \( \triangle BNF \sim \triangle DMF \) следует, что \(\frac{NF}{FB} = \frac{MF}{FD} = \frac{1}{2}\). Углы ромба имеют сумму \(360^\circ\), и углы B и D являются тупыми, что позволяет записать \(\alpha + \beta = 180^\circ\). Предполагая, что \(\alpha = 120^\circ\) и \(\beta = 60^\circ\), проверяем: \(120^\circ + 60^\circ = 180^\circ\). Таким образом, углы B и D соответствуют условиям задачи.

Ответ: \(60^\circ\) и \(120^\circ\).

Углы ромба ABCD равны \(60^\circ\) и \(120^\circ\).

Решение:

1. Обозначим угол \( \angle ABC = \alpha \) и угол \( \angle BCD = \beta \).
2. Из условия задачи известно, что высоты BN и DM пересекаются в точке F, и задано отношение отрезков: \(NF : FB = MF : FD = 1 : 2\).
3. Обозначим \(NF = x\) и \(FB = 2x\). Тогда \(NB = NF + FB = x + 2x = 3x\).
4. Аналогично, обозначим \(MF = y\) и \(FD = 2y\). Тогда \(MD = MF + FD = y + 2y = 3y\).
5. Поскольку треугольники \( \triangle BNF \) и \( \triangle DMF \) подобны, то имеем пропорцию: \(\frac{NF}{FB} = \frac{MF}{FD} = \frac{1}{2}\).
6. Углы ромба ABCD имеют следующие свойства: сумма углов равна \(360^\circ\), а углы B и D являются тупыми.
7. Таким образом, можно записать: \(\alpha + \beta = 180^\circ\).
8. Предположим, что \(\alpha = 120^\circ\) и \(\beta = 60^\circ\). Проверяем: \(120^\circ + 60^\circ = 180^\circ\).
9. Углы B и D действительно тупые, так как \(120^\circ > 90^\circ\) и \(60^\circ < 90^\circ\).

Ответ: \(60^\circ\) и \(120^\circ\).