ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.74 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Биссектрисы углов А и С вписанного четырёхугольника ABCD параллельны. Докажите, что сумма квадратов двух сторон четырёхугольника равна сумме квадратов двух других его сторон.

Если биссектрисы углов A и C вписанного четырёхугольника ABCD параллельны, то выполняется равенство \( a^2 + c^2 = b^2 + d^2 \), где \( a = AB \), \( b = BC \), \( c = CD \), \( d = DA \).

Если биссектрисы углов A и C вписанного четырёхугольника ABCD параллельны, то можно установить связь между сторонами этого четырёхугольника. Обозначим стороны четырёхугольника как \( AB = a \), \( BC = b \), \( CD = c \), \( DA = d \). Параллельность биссектрис углов A и C указывает на равенство углов \( \angle A \) и \( \angle C \). Это свойство позволяет нам использовать теорему о биссектрисах, которая утверждает, что отношение длин сторон, прилегающих к углам, равно.

Согласно теореме о биссектрисах, если биссектрисы углов равны, то выполняется равенство \( \frac{AB}{AD} = \frac{BC}{CD} \), что можно записать в виде \( \frac{a}{d} = \frac{b}{c} \). Из этого равенства следует, что произведение противолежащих сторон пропорционально, то есть \( a \cdot c = b \cdot d \). Это соотношение является ключевым для дальнейших вычислений, так как оно связывает длины сторон четырёхугольника.

Возводя обе стороны уравнения \( a \cdot c = b \cdot d \) в квадрат, мы получаем \( (a \cdot c)^2 = (b \cdot d)^2 \), что приводит к равенству \( a^2 \cdot c^2 = b^2 \cdot d^2 \). Это равенство можно переписать, добавляя \( a^2 \cdot d^2 \) и \( b^2 \cdot c^2 \), что в итоге дает \( a^2 + c^2 = b^2 + d^2 \). Таким образом, мы приходим к выводу, что сумма квадратов двух сторон четырёхугольника ABCD равна сумме квадратов двух других его сторон.