ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.75 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Докажите, что сумма углов А и С больше \(180°\).

Сумма углов \(A\) и \(C\) в вписанном пятиугольнике \(ABCDE\) больше \(180^\circ\), так как:

1. Угол \(A\) подсекает дугу \(BC\), угол \(C\) подсекает дугу \(DE\).
2. Сумма дуг окружности равна \(360^\circ\).
3. Тогда \(\angle A + \angle C = \frac{1}{2}(\text{дуга } BC + \text{дуга } DE)\).
4. Поскольку \(\text{дуга } AD + \text{дуга } BE > 0\), имеем \(\text{дуга } BC + \text{дуга } DE < 360^\circ\).
5. Следовательно, \(\angle A + \angle C > \frac{1}{2}(360^\circ — \text{дуга } AD — \text{дуга } BE) > 180^\circ\).

Таким образом, \(\angle A + \angle C > 180^\circ\).

Рассмотрим вписанный пятиугольник \(ABCDE\). Мы хотим доказать, что сумма углов \(A\) и \(C\) больше \(180^\circ\).

Вписанные углы \(A\) и \(C\) подсекают дуги окружности. Угол \(A\) подсекает дугу \(BC\), а угол \(C\) подсекает дугу \(DE\). По свойству вписанных углов, мы знаем, что:

\(\angle A = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } BC\)

\(\angle C = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } DE\)

Сумма всех дуг окружности равна \(360^\circ\). Таким образом, можно выразить сумму дуг \(BC\) и \(DE\):

\(\text{дуга } BC + \text{дуга } DE + \text{дуга } AD + \text{дуга } BE = 360^\circ\)

Из этого уравнения следует, что:

\(\text{дуга } BC + \text{дуга } DE = 360^\circ — (\text{дуга } AD + \text{дуга } BE)\)

Теперь подставим это в выражение для суммы углов \(A\) и \(C\):

\(\angle A + \angle C = \frac{1}{2} \cdot (\text{дуга } BC + \text{дуга } DE) = \frac{1}{2} \cdot (360^\circ — (\text{дуга } AD + \text{дуга } BE))\)

Поскольку дуги \(AD\) и \(BE\) положительны, то:

\(\text{дуга } AD + \text{дуга } BE > 0\)

Следовательно, имеем:

\(360^\circ — (\text{дуга } AD + \text{дуга } BE < 360^\circ\)

Таким образом, можно утверждать, что:

\(\angle A + \angle C > \frac{1}{2} \cdot 360^\circ = 180^\circ\)

В итоге, мы получили, что сумма углов \(A\) и \(C\) в вписанном пятиугольнике \(ABCDE\) больше \(180^\circ\):

\(\angle A + \angle C > 180^\circ\)