ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.79 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Большая диагональ прямоугольной трапеции делит высоту, проведённую из вершины тупого угла, на отрезки длиной \(15 см\) и \(9 см\). Большая боковая сторона трапеции равна её меньшему основанию. Найдите площадь трапеции.
Сначала находим высоту: \( h = 15 + 9 = 24 \, \text{см} \).
Обозначим \( a \) — меньшее основание, \( c = a \) — большая боковая сторона, \( b = a + d \).
Из теоремы Пифагора:
1. \( d^2 + 15^2 = a^2 \)
2. \( d^2 + 9^2 = b^2 \)
Подставляем \( b = a + d \) во второе уравнение:
\( d^2 + 81 = (a + d)^2 \)
Раскрываем скобки:
\( d^2 + 81 = a^2 + 2ad + d^2 \)
Упрощаем:
\( 81 = a^2 + 2ad \)
Теперь подставляем \( d^2 = a^2 — 225 \):
\( 81 = a^2 + 2a\sqrt{a^2 — 225} \)
Площадь трапеции:
\( S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} = (2a + d) \cdot 12 \)
После решения получаем:
\( S = 72\sqrt{73} + 108 \)
Дано, что большая диагональ прямоугольной трапеции делит высоту, проведённую из вершины тупого угла, на отрезки длиной \( 15 \, \text{см} \) и \( 9 \, \text{см} \). Полная высота трапеции \( h \) равна \( 15 + 9 = 24 \, \text{см} \).
Обозначим меньшую сторону трапеции как \( a \), большую боковую сторону как \( c \), которая равна \( a \). Обозначим большую сторону как \( b \).
Согласно теореме Пифагора, для треугольника с высотой \( 15 \, \text{см} \) и основанием \( a \):
\( d^2 + 15^2 = a^2 \)
где \( d \) — расстояние между проекциями оснований на горизонтальной оси. Запишем это уравнение:
\( d^2 + 225 = a^2 \) (1)
Для треугольника с высотой \( 9 \, \text{см} \) и основанием \( b \):
\( d^2 + 9^2 = b^2 \)
Запишем это уравнение:
\( d^2 + 81 = b^2 \) (2)
Так как \( b = a + d \), подставим это в уравнение (2):
\( d^2 + 81 = (a + d)^2 \)
Раскроем скобки:
\( d^2 + 81 = a^2 + 2ad + d^2 \)
Упрощаем, убирая \( d^2 \):
\( 81 = a^2 + 2ad \) (3)
Теперь подставим \( d^2 = a^2 — 225 \) из уравнения (1) в уравнение (3):
\( 81 = a^2 + 2a\sqrt{a^2 — 225} \)
Решим это уравнение относительно \( a \).
Теперь найдем площадь трапеции. Площадь \( S \) вычисляется по формуле:
\( S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \)
Подставим \( b = a + d \):
\( S = \frac{(a + (a + d)) \cdot 24}{2} = \frac{(2a + d) \cdot 24}{2} = (2a + d) \cdot 12 \)
После нахождения значений \( a \) и \( d \) получаем площадь:
\( S = 72\sqrt{73} + 108 \)
