ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.80 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке Е. Известно, что площади треугольников ABЕ и CDE равны между собой, диагональ АС является биссектрисой угла А, \(АВ = 4 см\). Найдите сторону ВС.

Из условия \(S_{ABE} = S_{CDE}\) следует, что \(S_{ABE} + S_{ADE} = S_{CDE} + S_{ADE}\), то есть \(S_{ABD} = S_{ACD}\). Так как у треугольников \(\triangle ABD\) и \(\triangle ACD\) общее основание \(AD\), их высоты, опущенные из вершин \(B\) и \(C\), равны. Это означает, что \(BC \parallel AD\), и четырехугольник \(ABCD\) является трапецией. Поскольку диагональ \(AC\) является биссектрисой угла \(A\), то \(\angle BAC = \angle CAD\). В трапеции углы \(\angle BCA\) и \(\angle CAD\) равны как накрест лежащие при параллельных прямых \(BC\) и \(AD\) и секущей \(AC\). Отсюда следует, что \(\angle BAC = \angle BCA\). Таким образом, треугольник \(\triangle ABC\) является равнобедренным с основанием \(AC\), и его боковые стороны равны: \(BC = AB\). Так как по условию \(AB = 4\) см, то \(BC = 4\) см.

Рассмотрим четырехугольник \(ABCD\), в котором диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(E\). По условию задачи, площади треугольников \(\triangle ABE\) и \(\triangle CDE\) равны, то есть \(S_{ABE} = S_{CDE}\).

К обеим частям этого равенства можно прибавить площадь треугольника \(\triangle ADE\). Получим \(S_{ABE} + S_{ADE} = S_{CDE} + S_{ADE}\). Сумма площадей \(S_{ABE} + S_{ADE}\) представляет собой площадь треугольника \(\triangle ABD\), а сумма площадей \(S_{CDE} + S_{ADE}\) — площадь треугольника \(\triangle ACD\). Таким образом, мы приходим к выводу, что площади треугольников \(\triangle ABD\) и \(\triangle ACD\) равны: \(S_{ABD} = S_{ACD}\).

Треугольники \(\triangle ABD\) и \(\triangle ACD\) имеют общее основание \(AD\). Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. Пусть \(h_B\) — высота, опущенная из вершины \(B\) на прямую, содержащую сторону \(AD\), а \(h_C\) — высота, опущенная из вершины \(C\) на ту же прямую. Тогда равенство площадей можно записать как \(\frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_B = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_C\), откуда следует, что \(h_B = h_C\).

Равенство высот \(h_B\) и \(h_C\) означает, что точки \(B\) и \(C\) находятся на одинаковом расстоянии от прямой \(AD\). Это является определением параллельных прямых, следовательно, прямая \(BC\) параллельна прямой \(AD\). Таким образом, четырехугольник \(ABCD\) является трапецией, у которой \(AD\) и \(BC\) — основания.

По условию задачи, диагональ \(AC\) является биссектрисой угла \(\angle A\), что означает \(\angle BAC = \angle CAD\). Поскольку \(ABCD\) — трапеция с основаниями \(AD\) и \(BC\), углы \(\angle CAD\) и \(\angle BCA\) являются накрест лежащими углами при параллельных прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(AC\). Следовательно, эти углы равны: \(\angle CAD = \angle BCA\).

Из двух полученных равенств, \(\angle BAC = \angle CAD\) и \(\angle CAD = \angle BCA\), следует, что \(\angle BAC = \angle BCA\). Это означает, что в треугольнике \(\triangle ABC\) углы при основании \(AC\) равны. Такой треугольник является равнобедренным, и его боковые стороны, лежащие напротив равных углов, равны между собой. Сторона \(BC\) лежит напротив угла \(\angle BAC\), а сторона \(AB\) — напротив угла \(\angle BCA\). Следовательно, \(BC = AB\).

В условии дано, что длина стороны \(AB\) равна \(4\) см. Так как \(BC = AB\), то длина стороны \(BC\) также равна \(4\) см.