ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.81 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В трапеции ABCD (ВС \(\perp\) AD) точка М середина стороны АВ. Найдите площадь треугольника CMD, если площадь данной трапеции равна \(S\).

Пусть площадь трапеции равна \( S \). Трапеция состоит из двух равных треугольников и прямоугольника. Площадь одного треугольника равна \( \frac{S}{3} \).

Площадь трапеции \( S \) состоит из двух равных треугольников \( CMD \) и \( BMC \), а также прямоугольника \( BCMD \). Точка \( M \) является серединой стороны \( AB \), поэтому отрезок \( CM \) делит трапецию на две равные части по площади. Основания треугольников \( CMD \) и \( BMC \) равны, так как \( AM = MB \), а их высоты одинаковы, поскольку перпендикуляр из точки \( C \) к основанию \( AD \) является общей высотой для обоих треугольников.

Площадь трапеции \( S \) можно выразить как сумму площадей прямоугольника \( BCMD \) и двух треугольников \( CMD \) и \( BMC \). Пусть площадь прямоугольника равна \( S_{\text{rect}} \), а площадь одного треугольника равна \( S_{\text{tri}} \). Тогда:

\[
S = S_{\text{rect}} + 2 \cdot S_{\text{tri}}
\]

Поскольку треугольники \( CMD \) и \( BMC \) равны по площади, их общая площадь составляет \( 2 \cdot S_{\text{tri}} \), а оставшаяся часть площади трапеции приходится на прямоугольник \( BCMD \). Если разделить трапецию на три равные части, то площадь каждого треугольника будет составлять треть от площади всей трапеции. Таким образом:

\[
S_{\text{tri}} = \frac{S}{3}
\]

Следовательно, площадь треугольника \( CMD \) равна \( \frac{S}{3} \).