ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.86 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В трапеции длина одной из диагоналей равна сумме оснований, а угол между диагоналями равен \(60°\). Докажите, что трапеция является равнобокой.

В трапеции точки пересечения диагоналей делят их пропорционально основаниям, а угол между диагоналями фиксирован (\(60^\circ\)). Если диагональ \(AC = AB + CD\), то треугольники, образованные диагоналями, являются равнобедренными, что влечет равенство боковых сторон \(AD = BC\). Следовательно, трапеция равнобокая.

Рассмотрим трапецию \(ABCD\), где \(AB\) и \(CD\) — основания, \(AD\) и \(BC\) — боковые стороны. Диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\), а угол между ними равен \(60^\circ\). По условию, длина диагонали \(AC\) равна сумме оснований: \(AC = AB + CD\).

Диагонали трапеции делятся точкой пересечения пропорционально основаниям: \(\frac{AO}{OC} = \frac{AB}{CD}\) и \(\frac{BO}{OD} = \frac{AB}{CD}\). Пусть \(AB = a\) и \(CD = b\), тогда \(\frac{AO}{OC} = \frac{a}{b}\) и \(\frac{BO}{OD} = \frac{a}{b}\).

Рассмотрим треугольники \(AOB\) и \(COD\), образованные диагоналями. В этих треугольниках угол между диагоналями равен \(60^\circ\), а стороны пропорциональны основаниям. Из условия \(AC = a + b\) и пропорциональности отрезков диагоналей следует, что треугольники \(AOB\) и \(COD\) равны по двум сторонам и углу между ними.

Равенство треугольников \(AOB\) и \(COD\) приводит к равенству боковых сторон трапеции \(AD = BC\). Кроме того, углы при основании равны: \(\angle DAB = \angle ABC\) и \(\angle CDA = \angle BCD\).

Таким образом, трапеция \(ABCD\) является равнобокой.