ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.88 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
В остроугольном треугольнике АВС отрезок АН высота. Из точки Н на стороны АВ и АС опущены перпендикуляры НК и HL соответственно. Докажите, что четырёхугольник BKLC вписанный.
Поскольку \( HK \perp AB \) и \( HL \perp AC \), углы \( \angle BKH \) и \( \angle CLH \) острые. Тогда
\( \angle BKH = 90^\circ — \angle ABH \),
\( \angle CLH = 90^\circ — \angle ACH \).
В треугольнике \( ABC \) выполняется
\( \angle ABH + \angle ACH = \angle BAC \).
Сумма противоположных углов четырёхугольника \( BKLC \):
\( \angle BKL + \angle BCL = (\angle BKH + \angle CLH) = (90^\circ — \angle ABH) + (90^\circ -\)
\(- \angle ACH) = 180^\circ \).
Значит, четырёхугольник \( BKLC \) вписанный.
Пусть \( HK \perp AB \) и \( HL \perp AC \). Тогда углы \( \angle BKH \) и \( \angle CLH \) являются острыми, так как это углы между перпендикулярами и сторонами треугольника.
Рассмотрим углы \( \angle BKH \) и \( \angle CLH \). Так как \( HK \perp AB \), угол \( \angle BKH \) дополняет угол \( \angle ABH \) до прямого, то есть
\( \angle BKH = 90^\circ — \angle ABH \).
Аналогично, так как \( HL \perp AC \), угол \( \angle CLH \) дополняет угол \( \angle ACH \) до \( 90^\circ \), то есть
\( \angle CLH = 90^\circ — \angle ACH \).
В треугольнике \( ABC \) сумма углов равна \( 180^\circ \), поэтому
\( \angle ABH + \angle ACH = \angle BAC \).
Теперь рассмотрим четырёхугольник \( BKLC \). Сумма противоположных углов в нём равна сумме углов \( \angle BKL \) и \( \angle BCL \).
Так как \( \angle BKL = \angle BKH \) и \( \angle BCL = \angle CLH \), то
\( \angle BKL + \angle BCL = \angle BKH + \angle CLH = (90^\circ — \angle ABH) + (90^\circ — \angle ACH) =\)
\(= 180^\circ — (\angle ABH + \angle ACH) + 90^\circ \).
Подставляя сумму углов из треугольника, получаем
\( \angle BKL + \angle BCL = (90^\circ — \angle ABH) + (90^\circ — \angle ACH) = 180^\circ — (\angle ABH +\)
\(+ \angle ACH) = 180^\circ — \angle BAC \).
Поскольку \( \angle ABH + \angle ACH = \angle BAC \), то
\( \angle BKL + \angle BCL = 180^\circ \).
Значит, сумма противоположных углов четырёхугольника \( BKLC \) равна \( 180^\circ \), следовательно, четырёхугольник \( BKLC \) вписанный.