1-11 класс
  • 1-11 класс
  • 1 класс
  • 2 класс
  • 3 класс
  • 4 класс
  • 5 класс
  • 6 класс
  • 7 класс
  • 8 класс
  • 9 класс
  • 10 класс
  • 11 класс
Выберите класс
Предметы
ГДЗ по Геометрии 9 Класс Углубленный уровень Учебник 📕 Мерзляк, Поляков — Все Части
Геометрия
9 класс углубленный уровень учебник Мерзляк
9 класс
Тип
Гдз, Решебник.
Авторы
Мерзляк А.Г., Поляков В.М.
Год
2019-2022
Издательство
Вентана-граф
Описание

ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.88 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Задача

В остроугольном треугольнике АВС отрезок АН высота. Из точки Н на стороны АВ и АС опущены перпендикуляры НК и HL соответственно. Докажите, что четырёхугольник BKLC вписанный.

Краткий ответ:

Поскольку \( HK \perp AB \) и \( HL \perp AC \), углы \( \angle BKH \) и \( \angle CLH \) острые. Тогда

\( \angle BKH = 90^\circ — \angle ABH \),

\( \angle CLH = 90^\circ — \angle ACH \).

В треугольнике \( ABC \) выполняется

\( \angle ABH + \angle ACH = \angle BAC \).

Сумма противоположных углов четырёхугольника \( BKLC \):

\( \angle BKL + \angle BCL = (\angle BKH + \angle CLH) = (90^\circ — \angle ABH) + (90^\circ -\)
\(- \angle ACH) = 180^\circ \).

Значит, четырёхугольник \( BKLC \) вписанный.

Подробный ответ:

Пусть \( HK \perp AB \) и \( HL \perp AC \). Тогда углы \( \angle BKH \) и \( \angle CLH \) являются острыми, так как это углы между перпендикулярами и сторонами треугольника.

Рассмотрим углы \( \angle BKH \) и \( \angle CLH \). Так как \( HK \perp AB \), угол \( \angle BKH \) дополняет угол \( \angle ABH \) до прямого, то есть

\( \angle BKH = 90^\circ — \angle ABH \).

Аналогично, так как \( HL \perp AC \), угол \( \angle CLH \) дополняет угол \( \angle ACH \) до \( 90^\circ \), то есть

\( \angle CLH = 90^\circ — \angle ACH \).

В треугольнике \( ABC \) сумма углов равна \( 180^\circ \), поэтому

\( \angle ABH + \angle ACH = \angle BAC \).

Теперь рассмотрим четырёхугольник \( BKLC \). Сумма противоположных углов в нём равна сумме углов \( \angle BKL \) и \( \angle BCL \).

Так как \( \angle BKL = \angle BKH \) и \( \angle BCL = \angle CLH \), то

\( \angle BKL + \angle BCL = \angle BKH + \angle CLH = (90^\circ — \angle ABH) + (90^\circ — \angle ACH) =\)
\(= 180^\circ — (\angle ABH + \angle ACH) + 90^\circ \).

Подставляя сумму углов из треугольника, получаем

\( \angle BKL + \angle BCL = (90^\circ — \angle ABH) + (90^\circ — \angle ACH) = 180^\circ — (\angle ABH +\)
\(
+ \angle ACH) = 180^\circ — \angle BAC \).

Поскольку \( \angle ABH + \angle ACH = \angle BAC \), то

\( \angle BKL + \angle BCL = 180^\circ \).

Значит, сумма противоположных углов четырёхугольника \( BKLC \) равна \( 180^\circ \), следовательно, четырёхугольник \( BKLC \) вписанный.



Общая оценка
5 / 5
Комментарии
Другие учебники
Другие предметы