ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.89 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Известно, что \(\angle BAC = \angle CBD\), \(\angle BCA = \angle CDB\). ДокажиTe, UTO \(CO \cdot CA = BO \cdot BD\).

Из подобия треугольников \(COA\) и \(BOC\) имеем:

\(\frac{CO}{BO} = \frac{CA}{BD}\).

Умножим крест-накрест:

\(CO \cdot BD = BO \cdot CA\).

Переставим множители:

\(CO \cdot CA = BO \cdot BD\).

Так как \(\angle BAC = \angle CBD\) и \(\angle BCA = \angle CDB\), треугольники \(ABC\) и \(BCD\) подобны по двум углам (\(AA\)).

Из подобия этих треугольников следует пропорция:

\(\frac{AB}{BC} = \frac{BC}{BD} = \frac{AC}{CD}\).

Теперь рассмотрим треугольники \(COA\) и \(BOC\). У них:

1. \(\angle COA = \angle BOC\) (как вертикальные углы),
2. \(\angle BAC = \angle CBD\) (по условию).

Следовательно, треугольники \(COA\) и \(BOC\) подобны по двум углам (\(AA\)).

Из подобия треугольников \(COA\) и \(BOC\) следует пропорция:

\(\frac{CO}{BO} = \frac{CA}{BD}\).

Перемножим стороны пропорции:

\(CO \cdot BD = BO \cdot CA\).

Преобразуем равенство, переставив множители:

\(CO \cdot CA = BO \cdot BD\).