ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.90 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Трапеция ABCD (AB \(\perp\) CD) такова, что окружность, описанная около треугольника ABD, касается прямой ВС. Докажите, что окружность, описанная около треугольника BCD, касается прямой AD.

Если окружность, описанная около треугольника \(ABD\), касается прямой \(BC\), то окружность, описанная около треугольника \(BCD\), касается прямой \(AD\), так как точки касания симметричны относительно диагоналей трапеции \(ABCD\).

Рассмотрим трапецию \(ABCD\), где \(AB \perp CD\), и окружности, описанные около треугольников \(ABD\) и \(BCD\).

Пусть окружность, описанная около треугольника \(ABD\), касается прямой \(BC\). Это означает, что точка касания окружности с прямой \(BC\) лежит на стороне \(BC\), а радиус окружности, проведённый в точку касания, перпендикулярен \(BC\).

Обозначим точки касания окружности треугольника \(ABD\) с прямой \(BC\) как \(P\), а окружности треугольника \(BCD\) с прямой \(AD\) как \(Q\). Так как \(AB \parallel CD\), трапеция обладает симметрией относительно диагоналей.

Из условия, что окружность треугольника \(ABD\) касается \(BC\), следует, что угол между прямой \(AB\) и диагональю \(AD\) равен углу между прямой \(BC\) и диагональю \(CD\). Следовательно, точки \(P\) и \(Q\) симметрично расположены относительно диагоналей трапеции \(ABCD\).

Углы \( \angle ABD \) и \( \angle BCD \) равны, так как окружности касаются параллельных сторон трапеции. Это равенство углов гарантирует, что окружность треугольника \(BCD\) также касается прямой \(AD\).