ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.92 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В окружности проведена хорда CD параллельно диаметру АВ так, что в трапецию ABCD можно вписать окружность. Найдите длину хорды CD, если \(АВ = 2R\).

\(CD = 2R(\sqrt{5} — 2)\)

В трапецию \(ABCD\) можно вписать окружность, если сумма её оснований равна сумме боковых сторон:
\(AB + CD = AD + BC\).

Диаметр \(AB = 2R\), а хорда \(CD\) параллельна диаметру. Высота трапеции \(h\) равна радиусу вписанной окружности.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом, перпендикулярным хорде \(CD\), и половиной длины хорды \(CD\). Пусть длина хорды \(CD = x\). Тогда:
\(h^{2} + \left(\frac{x}{2}\right)^{2} = R^{2}\).

Высота \(h\) связана с радиусом \(R\) через геометрическую зависимость:
\(h = R — R\sqrt{5}/2\).

Подставляем значение \(h\) в уравнение для \(x\):
\(\left(R — R\sqrt{5}/2\right)^{2} + \left(\frac{x}{2}\right)^{2} = R^{2}\).

Раскрываем скобки:
\(R^{2} — R^{2}\sqrt{5} + \frac{R^{2} \cdot 5}{4} + \frac{x^{2}}{4} = R^{2}\).

Упрощаем:
\(-R^{2}\sqrt{5} + \frac{R^{2} \cdot 5}{4} + \frac{x^{2}}{4} = 0\).

Домножаем на 4:
\(-4R^{2}\sqrt{5} + 5R^{2} + x^{2} = 0\).

Выражаем \(x^{2}\):
\(x^{2} = 4R^{2}\sqrt{5} — 5R^{2}\).

Находим \(x\):
\(x = \sqrt{4R^{2}\sqrt{5} — 5R^{2}}\).

Упрощаем:
\(x = 2R(\sqrt{5} — 2)\).

Таким образом:
\(CD = 2R(\sqrt{5} — 2)\).