ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.93 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В трапеции ABCD (AD \(\perp\) ВС, AD > BC) на диагонали АС отметили точку Е так, что \(ВЕ \perp CD\). Докажите, что площади треугольников ABC и DEC равны.

Сначала найдем площади треугольников \(ABC\) и \(DEC\).

Площадь треугольника \(ABC\) равна:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h
\]

Площадь треугольника \(DEC\) равна:
\[
S_{DEC} = \frac{1}{2} \cdot DE \cdot BE
\]

Так как \(BE \perp CD\) и \(AD \perp BC\), высота \(BE\) равна \(AD\).

Поскольку \(DE = BC\), то:
\[
S_{DEC} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h
\]

Таким образом, \(S_{ABC} = S_{DEC}\).

В трапеции \(ABCD\) проведем высоту \(AD\) перпендикулярно основанию \(BC\). Обозначим длину основания \(BC\) как \(a\) и высоту \(AD\) как \(h\). Площадь треугольника \(ABC\) можно найти по формуле для площади треугольника, которая равна половине произведения основания на высоту. Таким образом, площадь треугольника \(ABC\) вычисляется следующим образом:

\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h.
\]

Теперь обратим внимание на треугольник \(DEC\). В этом треугольнике, чтобы найти площадь, нам также нужна высота. Поскольку \(BE\) перпендикулярен \(CD\), высота \(BE\) будет равна длине \(AD\), что составляет \(h\). Обозначим длину отрезка \(DE\) как \(a\). Площадь треугольника \(DEC\) тогда можно выразить аналогично:

\[
S_{DEC} = \frac{1}{2} \cdot DE \cdot BE = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h.
\]

Теперь, когда мы нашли площади обоих треугольников, можно сравнить их. Мы видим, что \(S_{ABC}\) и \(S_{DEC}\) имеют одинаковые выражения:

\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \quad \text{и} \quad S_{DEC} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h.
\]

Это означает, что площади треугольников \(ABC\) и \(DEC\) равны. Таким образом, мы доказали, что \(S_{ABC} = S_{DEC}\).