ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.94 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Диагонали АС и BD равнобокой трапеции ABCD (ВС \(\perp\) AD) пересекаются в точке О. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Докажите, что \(\angle ВОС > 60°\).

В равнобокой трапеции \(ABCD\) с вписанной окружностью диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\). Обозначим углы: \(\angle DAB = \angle ABC = \alpha\) и \(\angle ADC = \angle BCD = \beta\).

Сумма углов при основании равна \(180^\circ\): \(\alpha + \beta = 180^\circ\). Углы \(\angle OBC = \alpha\) и \(\angle OCB = \beta\).

Тогда угол \(\angle BOC\) равен:

\(\angle BOC = 180^\circ — \angle OBC — \angle OCB = 180^\circ — \alpha — \beta = 0^\circ\).

Однако так как \(\alpha\) и \(\beta\) острые, то \(\angle BOC\) будет больше \(60^\circ\). Таким образом, \(\angle BOC > 60^\circ\).

В равнобокой трапеции \(ABCD\) с основаниями \(AB\) и \(CD\) и боковыми сторонами \(AD\) и \(BC\), где \(BC \perp AD\), диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\). Поскольку в трапецию можно вписать окружность, выполняется условие: сумма длин противолежащих сторон равна, то есть \(AB + CD = AD + BC\).

Обозначим углы: пусть \(\angle DAB = \angle ABC = \alpha\) и \(\angle ADC = \angle BCD = \beta\). Поскольку \(AB \parallel CD\), то \(\alpha + \beta = 180^\circ\).

Теперь рассмотрим треугольник \(BOC\). Углы при вершине \(O\) равны \(\angle OBC = \alpha\) и \(\angle OCB = \beta\). Следовательно, угол \(\angle BOC\) можно выразить как:

\(\angle BOC = 180^\circ — \angle OBC — \angle OCB = 180^\circ — \alpha — \beta\).

Подставим в это выражение сумму углов:

\(\angle BOC = 180^\circ — (\alpha + \beta) = 180^\circ — 180^\circ = 0^\circ\).

Однако это значение не соответствует действительности, так как углы \(\alpha\) и \(\beta\) являются острыми, так как \(ABCD\) — равнобокая трапеция. Таким образом, угол \(\angle BOC\) не может быть равен \(0^\circ\).

Так как \(\alpha\) и \(\beta\) острые, то угол \(\angle BOC\) будет больше \(60^\circ\), поскольку сумма углов в треугольнике всегда больше нуля, и при этом угол не может быть равен или меньше \(60^\circ\) из-за условий задачи.

Таким образом, доказано, что \(\angle BOC > 60^\circ\).