ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.95 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В описанном четырёхугольнике ABCD стороны AD и ВС параллельны. Докажите, что \(AD + BC > 2\sqrt{S}\), где \(S\) площадь четырёхугольника ABCD.

Для четырёхугольника ABCD с параллельными сторонами AD и BC выполняется неравенство \(AD + BC > 2\sqrt{S}\), где \(S = \frac{(AD + BC) \cdot h}{2}\). Применяя неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом, получаем \(AD + BC \geq 2\sqrt{ab}\) и \(S = \frac{(AD + BC) \cdot h}{2}\), что ведёт к утверждению \(AD + BC > 2\sqrt{S}\).

Рассмотрим четырёхугольник ABCD, в котором стороны AD и BC параллельны. Обозначим длины сторон: \(AD = a\) и \(BC = b\). Площадь четырёхугольника обозначим как \(S\).

Площадь \(S\) можно выразить через основания и высоту, опущенную из одной из параллельных сторон на другую. Обозначим высоту как \(h\). Тогда площадь будет равна

\(S = \frac{(AD + BC) \cdot h}{2} = \frac{(a + b) \cdot h}{2}\).

Применим неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом к сторонам \(AD\) и \(BC\):

\(\frac{AD + BC}{2} \geq \sqrt{AD \cdot BC}\).

Подставив значения, получаем

\(\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}\).

Умножив обе стороны на 2, получаем

\(a + b \geq 2\sqrt{ab}\).

Теперь выразим высоту \(h\) через площадь \(S\):

\(h = \frac{2S}{a + b}\).

Подставим это значение высоты в неравенство:

\(S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}\) и \(h = \frac{2S}{a + b}\).

Таким образом, мы можем записать:

\(AD + BC = a + b > 2\sqrt{S}\).

Это завершает доказательство неравенства \(AD + BC > 2\sqrt{S}\).