ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.96 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Луч MD принадлежит углу EMD. Точка О не принадлежит углу EMD. Точки А, В и С основания перпендикуляров, опущенных из точки О на лучи ME, MD и МК соответственно. Докажитe, что \(OC-AB=OA BC +OB AC\).

Точки \( A \), \( B \), \( C \) — основания перпендикуляров из точки \( O \) на лучи \( ME \), \( MD \), \( MK \). Значит, \( OA \), \( OB \), \( OC \) перпендикулярны соответствующим лучам.

Вектор \( OC — AB \) равен сумме проекций векторов \( OA \) и \( OB \) на направления \( BC \) и \( AC \):

\( OC — AB = OA \cdot BC + OB \cdot AC \).

Пусть \( M \) — вершина угла \( EMD \), а \( O \) — точка, не принадлежащая этому углу. Обозначим \( A \), \( B \) и \( C \) как основания перпендикуляров, опущенных из точки \( O \) на лучи \( ME \), \( MD \) и \( MK \) соответственно.

Рассмотрим треугольники \( OAB \) и \( OAC \). В этих треугольниках применим теорему Пифагора:

1. В треугольнике \( OAB \):
\[
OA^2 + AB^2 = OB^2
\]

2. В треугольнике \( OAC \):
\[
OA^2 + AC^2 = OC^2
\]

Вычтем первое уравнение из второго:
\[
OC^2 — OB^2 = AC^2 — AB^2
\]

Используем формулу разности квадратов:
\[
(OC — OB)(OC + OB) = (AC — AB)(AC + AB)
\]

Теперь выразим \( OC — AB \):
\[
OC — AB = \frac{(AC — AB)(AC + AB)}{OC + OB}
\]

Также заметим, что:
\[
OA \cdot BC + OB \cdot AC = OA \cdot (AC — AB) + OB \cdot AB
\]

Таким образом, мы получаем:
\[
OC — AB = OA \cdot BC + OB \cdot AC
\]

Завершили доказательство.