ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.97 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Через конец хорды, делящей окружность на две дуги, длины которых относятся как \(3 : 5\), проведена касательная. Найдите острый угол между хордой и касательной.

Дано, что дуги окружности делятся в отношении \(3:5\). Обозначим длины дуг как \(3x\) и \(5x\).

Сумма длин дуг равна \(3x + 5x = 8x\). Полная окружность соответствует \(360^\circ\), следовательно, \(8x = 360^\circ\).

Решим это уравнение: \(x = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ\).

Теперь найдем угол, опирающийся на дугу \(AB\): \(\text{Дуга } AB = 5x = 5 \cdot 45^\circ = 225^\circ\).

Угол \(OKP\) равен \(\angle OKP = \frac{1}{2} \cdot 225^\circ = 112.5^\circ\).

Переведем \(112.5^\circ\) в градусы и минуты: \(112.5^\circ = 112^\circ + 30’\).

Теперь найдем угол между хордой и касательной: \(\angle OBN = 180^\circ — \angle OKP = 180^\circ — 112.5^\circ = 67.5^\circ\).

Переведем \(67.5^\circ\) в градусы и минуты: \(67.5^\circ = 67^\circ + 30’\).

Таким образом, угол между хордой и касательной равен \(67^\circ 30’\).

Дано, что дуги окружности делятся в отношении \(3:5\). Это означает, что длины дуг можно обозначить как \(3x\) и \(5x\), где \(x\) — это некоторый общий множитель. Сумма этих дуг равна полной длине окружности. Полная длина окружности составляет \(360^\circ\). Таким образом, мы можем записать уравнение для нахождения \(x\):

\[
3x + 5x = 8x
\]

Учитывая, что полная окружность равна \(360^\circ\), мы имеем:

\[
8x = 360^\circ
\]

Решим это уравнение для нахождения \(x\):

\[
x = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ
\]

Теперь мы можем найти длину дуги \(AB\), которая равна \(5x\):

\[
\text{Дуга } AB = 5x = 5 \cdot 45^\circ = 225^\circ
\]

Угол, опирающийся на дугу \(AB\), обозначим как \(\angle OKP\). По теореме о центральном угле, он равен половине величины дуги, на которую он опирается:

\[
\angle OKP = \frac{1}{2} \cdot 225^\circ = 112.5^\circ
\]

Теперь переведем \(112.5^\circ\) в градусы и минуты. Поскольку \(0.5^\circ\) соответствует \(30’\), мы можем записать:

\[
112.5^\circ = 112^\circ + 30′
\]

Следующим шагом будет нахождение угла между хордой и касательной. Этот угол обозначим как \(\angle OBN\). Он равен разности между \(180^\circ\) и найденным углом \(\angle OKP\):

\[
\angle OBN = 180^\circ — \angle OKP = 180^\circ — 112.5^\circ = 67.5^\circ
\]

Переведем \(67.5^\circ\) в градусы и минуты. Аналогично, \(0.5^\circ\) равно \(30’\), значит:

\[
67.5^\circ = 67^\circ + 30′
\]

Таким образом, угол между хордой и касательной равен \(67^\circ 30’\).