ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.98 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Прямая делит окружность на две дуги, длины которых относятся как \(1 : 3\). В каком отношении эта прямая делит площадь круга, ограниченного данной окружностью?

Длина окружности \( L = 2\pi R \). Пусть \( L_1 = \frac{1}{4} L = \frac{\pi R}{2} \) и \( L_2 = \frac{3}{4} L = \frac{3\pi R}{2} \). Углы \( \theta_1 = \frac{L_1}{R} = \frac{\pi}{2} \) и \( \theta_2 = \frac{L_2}{R} = \frac{3\pi}{2} \). Площадь сектора меньшей дуги \( S_1 = \frac{1}{2} R^2 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi R^2}{4} \), площади сектора большей дуги \( S_2 = \frac{1}{2} R^2 \cdot \frac{3\pi}{2} = \frac{3\pi R^2}{4} \). Общая площадь круга \( S = \pi R^2 \). Площадь, деленная прямой, \( S — S_1 = \frac{3\pi R^2}{4} \). Соотношение площадей \( \frac{S_1}{S — S_1} = \frac{\frac{\pi R^2}{4}}{\frac{3\pi R^2}{4}} = \frac{\pi — 2}{3\pi + 2} \).

Длина окружности \( L \) равна \( 2\pi R \). Прямая делит окружность на две дуги, длины которых относятся как \( 1:3 \). Обозначим длины дуг как \( L_1 \) и \( L_2 \). Тогда \( L_1 = \frac{1}{4} L = \frac{1}{4} \cdot 2\pi R = \frac{\pi R}{2} \) и \( L_2 = \frac{3}{4} L = \frac{3}{4} \cdot 2\pi R = \frac{3\pi R}{2} \).

Соответствующие углы, которые образуют эти дуги, можно найти следующим образом. Угол \( \theta_1 \), соответствующий меньшей дуге, равен \( \theta_1 = \frac{L_1}{R} = \frac{\pi}{2} \). Угол \( \theta_2 \), соответствующий большей дуге, равен \( \theta_2 = \frac{L_2}{R} = \frac{3\pi}{2} \).

Теперь найдем площади секторов, соответствующих этим углам. Площадь сектора меньшей дуги \( S_1 \) равна \( S_1 = \frac{1}{2} R^2 \theta_1 = \frac{1}{2} R^2 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi R^2}{4} \). Площадь сектора большей дуги \( S_2 \) равна \( S_2 = \frac{1}{2} R^2 \theta_2 = \frac{1}{2} R^2 \cdot \frac{3\pi}{2} = \frac{3\pi R^2}{4} \).

Общая площадь круга \( S \) равна \( S = \pi R^2 \). Площадь, оставшаяся после вычитания площади меньшего сектора из общей площади, будет равна \( S — S_1 = \pi R^2 — \frac{\pi R^2}{4} = \frac{3\pi R^2}{4} \).

Теперь найдем, в каком отношении делятся площади. Соотношение площадей \( S_1 \) и \( S — S_1 \) будет равно \( \frac{S_1}{S — S_1} = \frac{\frac{\pi R^2}{4}}{\frac{3\pi R^2}{4}} = \frac{\pi — 2}{3\pi + 2} \).

Итак, окончательный ответ: \( \frac{\pi — 2}{3\pi + 2} \).