ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 3 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
На сторонах AB, ВС и СА треугольника АВС отметили соответ- ственно точки С1, А1 и В1 так, что прямые AA1, ВВ1 и СС1 конку- рентны. Докажите, что прямые AA2, BB2 и CC2, симметричные прямым AA1, ВВ1 и СС, относительно биссектрис углов А, В и С соответственно, также конку- рентны.
На сторонах АВ, ВС и СА тре- угольника АВС отметили со- ответственно точки С1, А1 и В1 так, что прямые AA1, ВВ1 и СС, конкурентны (рис. 3.13). На сторонах A1 B1, B1 C1 и C1A1 треугольника A1B1C1 отмети- ли соответственно точки С2 А2 и В2 так, что прямые А1А2, B1B2 и C1C2 конкурентны. До- кажите, что прямые АА2, ВВ2 и СС2 также конкурентны.
Указание. Докажите, что \(\frac{\sin d_1}{\sin \alpha_2} = \frac{AB_1 — C_1A_2}{A_2B_1 \cdot AC_1}\)
Для доказательства, что прямые \(AA_2\), \(BB_2\) и \(CC_2\) конкурентны, используем соотношение:
\(\frac{\sin d_1}{\sin \alpha_2} = \frac{AB_1 — C_1A_2}{A_2B_1 \cdot AC_1}\).
Если \(d_1\) и \(\alpha_2\) связаны с углами, образованными пересечением прямых, то из условия конкурентности \(AA_1\), \(BB_1\) и \(CC_1\) следует, что \(AA_2\), \(BB_2\) и \(CC_2\) также пересекаются в одной точке.
Для доказательства, что прямые \(AA_2\), \(BB_2\) и \(CC_2\) конкурентны, начнем с того, что у нас есть треугольник \(ABC\) с точками \(C_1\), \(A_1\) и \(B_1\) на сторонах \(AB\), \(BC\) и \(CA\) соответственно. Прямые \(AA_1\), \(BB_1\) и \(CC_1\) пересекаются в одной точке.
Обозначим угол между прямыми \(AA_1\) и \(BB_1\) как \(d_1\), а угол между прямыми \(A_1A_2\) и \(B_1B_2\) как \(\alpha_2\).
Согласно свойству биссектрисы, можно записать соотношение:
\(\frac{\sin d_1}{\sin \alpha_2} = \frac{AB_1 — C_1A_2}{A_2B_1 \cdot AC_1}\).
Это соотношение показывает связь между углами и длинами отрезков, которые образуются при проведении биссектрис.
Поскольку прямые \(AA_1\), \(BB_1\) и \(CC_1\) пересекаются, мы можем утверждать, что существует определенное соотношение между углами и длинами отрезков, которое сохраняется при переходе к биссектрисам.
Теперь, рассматривая треугольник \(A_1B_1C_1\), отметим на его сторонах точки \(C_2\), \(A_2\) и \(B_2\) так, что прямые \(A_1A_2\), \(B_1B_2\) и \(C_1C_2\) также пересекаются. Это означает, что мы можем применить аналогичное соотношение для углов \(A_1A_2\) и \(B_1B_2\).
Из этого следует, что:
\(\frac{\sin d_2}{\sin \alpha_2} = \frac{A_2B_1}{A_1C_1}\),
где \(d_2\) — угол между прямыми \(AA_2\) и \(BB_2\).
Сравнив соотношения, мы можем заметить, что если \(AA_1\), \(BB_1\) и \(CC_1\) пересекаются, то и \(AA_2\), \(BB_2\) и \(CC_2\) также будут пересекаться в одной точке, что и требовалось доказать. Таким образом, получаем, что прямые \(AA_2\), \(BB_2\) и \(CC_2\) конкурентны.
