ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 3.10 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Радиус описанной окружности треугольника АВС равен \(6\) см. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АОС, где О — точка пересечения биссектрис треугольника АВС, если \(ZABC = 60°\).
Радиус описанной окружности треугольника \(AOC\) равен \(6\) см. В треугольнике \(ABC\) с радиусом \(R = 6\) см и углом \(\angle ABC = 60^\circ\), центр \(O\) дает \(OA = OC = 6\) см, а центральный угол \(\angle AOC = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ\). По теореме косинусов: \(AC^2 = 6^2 + 6^2 — 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \cos(120^\circ) = 108\), откуда \(AC = 6\sqrt{3}\) см. Площадь \(S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \sin(120^\circ) = 9\sqrt{3}\) см², и радиус описанной окружности \(R = \frac{6 \cdot 6 \cdot 6\sqrt{3}}{4 \cdot 9\sqrt{3}} = 6\) см.
Для решения задачи рассмотрим треугольник \(ABC\) с описанной окружностью радиусом \(R = 6\) см и углом \(\angle ABC = 60^\circ\). Нам нужно найти радиус описанной окружности треугольника \(AOC\), где \(O\) — центр описанной окружности треугольника \(ABC\).
Поскольку \(O\) является центром окружности, радиусы \(OA\), \(OB\) и \(OC\) равны \(6\) см. Таким образом, треугольник \(AOC\) имеет стороны \(OA = 6\) см, \(OC = 6\) см, а сторона \(AC\) является стороной исходного треугольника \(ABC\). Угол \(\angle AOC\) соответствует центральному углу, опирающемуся на дугу \(AC\), а угол \(\angle ABC = 60^\circ\) — это вписанный угол, опирающийся на ту же дугу. По свойству окружности центральный угол вдвое больше вписанного, поэтому \(\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ\).
Теперь треугольник \(AOC\) является равнобедренным с \(OA = OC = 6\) см и углом между ними \(\angle AOC = 120^\circ\). Чтобы найти радиус описанной окружности треугольника \(AOC\), используем формулу для радиуса описанной окружности \(R = \frac{abc}{4S}\), где \(a, b, c\) — стороны треугольника, а \(S\) — его площадь. Сначала найдем длину стороны \(AC\) по теореме косинусов в треугольнике \(AOC\):
\(AC^2 = OA^2 + OC^2 — 2 \cdot OA \cdot OC \cdot \cos(\angle AOC) = 6^2 + 6^2 -\)
\(- 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \cos(120^\circ)\).
Значение \(\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}\), поэтому:
\(AC^2 = 36 + 36 — 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 72 + 36 = 108\),
\(AC = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}\) см.
Теперь вычислим площадь треугольника \(AOC\) по формуле \(S = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OC \cdot \sin(\angle AOC)\). Значение \(\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ — 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), поэтому:
\(S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}\) см².
Стороны треугольника \(AOC\) равны \(OA = 6\), \(OC = 6\), \(AC = 6\sqrt{3}\). Тогда радиус описанной окружности:
\(R = \frac{OA \cdot OC \cdot AC}{4S} = \frac{6 \cdot 6 \cdot 6\sqrt{3}}{4 \cdot 9\sqrt{3}} = \frac{216\sqrt{3}}{36\sqrt{3}} = 6\) см.
Таким образом, радиус описанной окружности треугольника \(AOC\) равен \(6\) см.
