ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 3.13 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На стороне АВ треугольника АВС отметили точку М так, что \(ZAMC = \phi\). Найдите отрезок СМ, если \(AB = c\), \(ZA = a\), \(LACB = y\).

Дано, что точка $M$ расположена на стороне $AB$ треугольника $ABC$ так, что угол $\angle AMC = \varphi$. Необходимо найти длину отрезка $CM$, если $AB = c$, $\angle BAC = \alpha$ и $\angle ACB = \gamma$.

Для нахождения длины отрезка $CM$ используем теорему синусов и геометрические соотношения.

Из теоремы синусов для треугольника $ABC$ имеем:

$$\frac{AB}{\sin \gamma} = \frac{AC}{\sin \beta} = \frac{BC}{\sin \alpha}$$

Рассмотрим угол $\angle AMC$. Мы можем выразить его через углы $\alpha$ и $\gamma$ с использованием свойств углов треугольников:

$$\angle AMC = \alpha + \gamma$$

Далее, используя теорему синусов для треугольника $AMC$, получаем:

$$\frac{c \sin \alpha}{\sin(\alpha + \gamma)} = \frac{CM}{\sin \varphi}$$

Перепишем это выражение для нахождения длины отрезка $CM$:

$$CM = \frac{c \sin \alpha \sin(\alpha + \gamma)}{\sin \gamma \sin \varphi}$$

Таким образом, конечное выражение для длины отрезка $CM$ следующее:

$$CM = \frac{c \sin \alpha \sin(\alpha + \gamma)}{\sin \gamma \sin \varphi}$$

Дано, что точка $M$ расположена на стороне $AB$ треугольника $ABC$, так что угол $\angle AMC = \varphi$. Необходимо найти длину отрезка $CM$, если $AB = c$, $\angle BAC = \alpha$ и $\angle ACB = \gamma$. Важно, что угол $\angle AMC$ является внешним для треугольника $ABC$, и это дает нам возможность использовать теорему синусов для решения задачи.

В первую очередь, применим теорему синусов для треугольника $ABC$. Теорема синусов утверждает, что отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего угла остается постоянным для всех сторон и углов треугольника. Это можно записать следующим образом:

$$\frac{AB}{\sin \gamma} = \frac{AC}{\sin \beta} = \frac{BC}{\sin \alpha}$$

Здесь $AB = c$, $\angle ABC = \beta$, $\angle ACB = \gamma$ и $\angle BAC = \alpha$. Это соотношение важно для дальнейших преобразований, поскольку оно связывает стороны и углы треугольника $ABC$.

Для дальнейшего анализа, необходимо выразить угол $\angle AMC$, который лежит в треугольнике $AMC$. Мы знаем, что угол $\angle AMC$ является внешним углом для треугольника $ABC$, и он равен сумме углов $\angle BAC = \alpha$ и $\angle ACB = \gamma$. Таким образом, угол $\angle AMC$ можно выразить следующим образом:

$$\angle AMC = \alpha + \gamma$$

Эта геометрическая зависимость позволяет нам перейти к дальнейшему вычислению с использованием теоремы синусов в треугольнике $AMC$.

Для того чтобы найти длину отрезка $CM$, применим теорему синусов к треугольнику $AMC$. Теорема синусов в этом треугольнике будет выглядеть так:

$$\frac{c \sin \alpha}{\sin(\alpha + \gamma)} = \frac{CM}{\sin \varphi}$$

Здесь $CM$ — искомая длина отрезка, а $\varphi$ — угол $\angle AMC$, который, как мы уже сказали, равен $\alpha + \gamma$. Это соотношение связывает длину стороны $AB = c$ и углы $\alpha$, $\gamma$, $\varphi$.

Перепишем полученное выражение, чтобы выразить длину отрезка $CM$ через известные величины:

$$CM = \frac{c \sin \alpha \sin(\alpha + \gamma)}{\sin \gamma \sin \varphi}$$

Это финальная формула для нахождения длины отрезка $CM$. Таким образом, длина отрезка $CM$ выражается через длину стороны $AB = c$, угол $\alpha$, угол $\gamma$ и угол $\varphi$.

Важно отметить, что эта формула может быть использована для вычисления длины отрезка $CM$ в любом треугольнике, если известны углы и длина одной из сторон. Это также иллюстрирует, как использование теоремы синусов позволяет находить неизвестные элементы треугольников, даже если прямого измерения длины отрезка нет.

В заключение, конечная формула для длины отрезка $CM$, которая учитывает все углы и длину стороны $AB$, следующая:

$$CM = \frac{c \sin \alpha \sin(\alpha + \gamma)}{\sin \gamma \sin \varphi}$$