ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 3.14 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В треугольнике ABC \(ZA = a\), \(ZB = \beta\). На стороне ВС отметили точ- ку D так, что \(LADB = \phi\), \(AD = m\). Найдите сторону ВС.

В треугольнике $ABC$ применяем теорему о синусах в треугольнике $ABD$: $AB = \frac{m \cdot \sin \varphi}{\sin \beta}$. Затем применяем теорему о синусах в треугольнике $ABC$: $BC = \frac{AB \cdot \sin (\alpha + \beta)}{\sin \alpha}$. Подставляем выражение для $AB$: $BC = \frac{\frac{m \cdot \sin \varphi}{\sin \beta} \cdot \sin (\alpha + \beta)}{\sin \alpha}$. Упрощаем: $BC = \frac{m \cdot \sin \varphi \cdot \sin (\alpha + \beta)}{\sin \alpha \cdot \sin \beta}$. Ответ: $BC = \frac{m \cdot \sin \alpha \cdot \sin \varphi}{\sin \beta \cdot \sin (\alpha + \beta)}$.

В треугольнике $ABC$ дано, что $ZA = a$, $ZB = \beta$, угол $\angle ADB = \varphi$ и $AD = m$. Нам нужно найти длину стороны $BC$. Для этого используем несколько теорем, включая теорему о синусах.

Шаг 1. Применение теоремы о синусах в треугольнике $ABD$.

Сначала в треугольнике $ABD$ применим теорему о синусах:

$$\frac{AD}{\sin \beta} = \frac{AB}{\sin \varphi}$$

Где:

$AD = m$,

$\angle ABD = \beta$,

$\angle ADB = \varphi$.

Перепишем это уравнение, чтобы выразить сторону $AB$:

$$AB = \frac{AD \cdot \sin \varphi}{\sin \beta}$$

Подставляем значение $AD = m$:

$$AB = \frac{m \cdot \sin \varphi}{\sin \beta}$$

Шаг 2. Применение теоремы о синусах в треугольнике $ABC$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. Применим теорему о синусах к этому треугольнику:

$$\frac{AB}{\sin \alpha} = \frac{BC}{\sin (\alpha + \beta)}$$

Где:

$AB$ уже выражено как $\frac{m \cdot \sin \varphi}{\sin \beta}$,

$\angle ABC = \alpha$,

$\angle ACB = \alpha + \beta$.

Из этого уравнения выразим сторону $BC$:

$$BC = \frac{AB \cdot \sin (\alpha + \beta)}{\sin \alpha}$$

Шаг 3. Подставляем выражение для $AB$ в формулу для $BC$.

Подставляем выражение для $AB$ из шага 1 в уравнение для $BC$:

$$BC = \frac{\frac{m \cdot \sin \varphi}{\sin \beta} \cdot \sin (\alpha + \beta)}{\sin \alpha}$$

Шаг 4. Упрощение выражения для $BC$.

Упрощаем полученное выражение:

$$BC = \frac{m \cdot \sin \varphi \cdot \sin (\alpha + \beta)}{\sin \alpha \cdot \sin \beta}$$

Ответ:

$$BC = \frac{m \cdot \sin \alpha \cdot \sin \varphi}{\sin \beta \cdot \sin (\alpha + \beta)}$$