ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 3.15 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что существует треугольник, стороны которого равны \(sin A\), \(sin B\), \(sin C\), где \(A\), \(B\) и \(C\) — углы данного треугольника АВС.

Существует треугольник со сторонами \( \sin A \), \( \sin B \) и \( \sin C \), где \( A + B + C = 180^\circ \). По теореме синусов \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \). Стороны нового треугольника \( a’ = \sin A \), \( b’ = \sin B \), \( c’ = \sin C \) удовлетворяют неравенствам: \( \sin A + \sin B > \sin C \), \( \sin A + \sin C > \sin B \), \( \sin B + \sin C > \sin A \). Все условия выполняются, следовательно, треугольник существует.

Для доказательства существования треугольника со сторонами, равными \( \sin A \), \( \sin B \) и \( \sin C \), где \( A \), \( B \) и \( C \) — углы треугольника ABC, рассмотрим следующие шаги:

1. Углы треугольника ABC удовлетворяют условию \( A + B + C = 180^\circ \).

2. По теореме синусов для треугольника ABC имеем:
\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R,
\]
где \( a \), \( b \), \( c \) — стороны треугольника, а \( R \) — радиус описанной окружности.

3. Обозначим стороны нового треугольника как \( a’ = \sin A \), \( b’ = \sin B \), \( c’ = \sin C \). Тогда можно записать:
\[
\frac{a’}{\sin A} = \frac{b’}{\sin B} = \frac{c’}{\sin C} = 2R’.
\]

4. Это означает, что для нового треугольника:
\[
\frac{\sin A}{\sin A} = \frac{\sin B}{\sin B} = \frac{\sin C}{\sin C} = 2R’.
\]

5. Для существования треугольника необходимо, чтобы выполнялись неравенства:
\[
\sin A + \sin B > \sin C,
\]
\[
\sin A + \sin C > \sin B,
\]
\[
\sin B + \sin C > \sin A.
\]

6. Применим неравенство треугольника. Для углов \( A \), \( B \) и \( C \) выполняется:
\[
\sin A + \sin B > \sin(180^\circ — (A + B)) = \sin C.
\]

7. Аналогично:
\[
\sin A + \sin C > \sin B,
\]
\[
\sin B + \sin C > \sin A.
\]

8. Таким образом, все условия для существования треугольника выполняются.

9. Следовательно, существует треугольник со сторонами \( \sin A \), \( \sin B \) и \( \sin C \).

10. Мы доказали, что такой треугольник существует.