1-11 класс
  • 1-11 класс
  • 1 класс
  • 2 класс
  • 3 класс
  • 4 класс
  • 5 класс
  • 6 класс
  • 7 класс
  • 8 класс
  • 9 класс
  • 10 класс
  • 11 класс
Выберите класс
Предметы
ГДЗ по Геометрии 9 Класс Углубленный уровень Учебник 📕 Мерзляк, Поляков — Все Части
Геометрия
9 класс углубленный уровень учебник Мерзляк
9 класс
Тип
Гдз, Решебник.
Авторы
Мерзляк А.Г., Поляков В.М.
Год
2019-2022
Издательство
Вентана-граф
Описание

ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 3.16 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Задача

Докажите, используя теорему синусов, что биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, длины которых пропорциональны прилежащим сторонам.

Краткий ответ:

В треугольнике \( ABC \) с углом \( \angle A \) и биссектрисой \( AD \), делящей сторону \( BC \) на отрезки \( BD = x \) и \( DC = y \), применяем теорему синусов:

Для треугольника \( ABD \): \( \frac{AB}{\sin(\angle ADB)} = \frac{AD}{\sin(\angle ABD)} \) даёт \( AD = \frac{c \cdot \sin(\angle ABD)}{\sin(\angle ADB)} \).

Для треугольника \( ACD \): \( \frac{AC}{\sin(\angle ADC)} = \frac{AD}{\sin(\angle ACD)} \) даёт \( AD = \frac{b \cdot \sin(\angle ACD)}{\sin(\angle ADC)} \).

Так как \( \angle ADB = \angle ACD \) и \( \angle ADC = \angle ABD \), получаем \( \frac{c \cdot \sin(\angle ABD)}{\sin(\angle ACD)} = \frac{b \cdot \sin(\angle ACD)}{\sin(\angle ABD)} \).

Упрощая, получаем \( c \cdot \sin^2(\angle ABD) = b \cdot \sin^2(\angle ACD) \).

Следовательно, \( \frac{BD}{DC} = \frac{c}{b} \). Таким образом, биссектрисa делит сторону на отрезки, длины которых пропорциональны прилежащим сторонам.

Подробный ответ:

Рассмотрим треугольник \( ABC \) с углом \( \angle A \), биссектрисой \( AD \) и стороной \( BC \), которую биссектрисa делит на отрезки \( BD \) и \( DC \).

Обозначим \( AB = c \), \( AC = b \), \( BD = x \), \( DC = y \).

По теореме синусов в треугольниках \( ABD \) и \( ACD \) имеем:

1. Для треугольника \( ABD \):

\(\frac{AB}{\sin(\angle ADB)} = \frac{AD}{\sin(\angle ABD)}\)

Подставляем значения:

\(\frac{c}{\sin(\angle ADB)} = \frac{AD}{\sin(\angle ABD)}\)

Отсюда:

\(AD = \frac{c \cdot \sin(\angle ABD)}{\sin(\angle ADB)}\) (1)

2. Для треугольника \( ACD \):

\(\frac{AC}{\sin(\angle ADC)} = \frac{AD}{\sin(\angle ACD)}\)

Подставляем значения:

\(\frac{b}{\sin(\angle ADC)} = \frac{AD}{\sin(\angle ACD)}\)

Отсюда:

\(AD = \frac{b \cdot \sin(\angle ACD)}{\sin(\angle ADC)}\) (2)

Так как биссектрисa делит угол \( \angle A \), то:

\(\angle ADB = \angle ACD\) и \(\angle ADC = \angle ABD\).

Следовательно, из (1) и (2) получаем:

\(\frac{c \cdot \sin(\angle ABD)}{\sin(\angle ACD)} = \frac{b \cdot \sin(\angle ACD)}{\sin(\angle ABD)}\).

Умножим обе стороны на \(\sin(\angle ACD) \cdot \sin(\angle ABD)\):

\(c \cdot \sin^2(\angle ABD) = b \cdot \sin^2(\angle ACD)\).

Теперь используем соотношение между отрезками \( BD \) и \( DC \):

\(\frac{BD}{DC} = \frac{x}{y} = \frac{c}{b}\).

Таким образом, получаем:

\(x = k \cdot c\) и \(y = k \cdot b\), где \( k \) — некоторая коэффициент пропорциональности.

Суммируя отрезки, имеем:

\(x + y = c + b\).

Подставляем значения:

\(k \cdot c + k \cdot b = c + b\).

Таким образом, \(k = \frac{1}{1}\).

Следовательно, \(\frac{BD}{DC} = \frac{c}{b}\).

Мы доказали, что биссектрисa треугольника делит его сторону на отрезки, длины которых пропорциональны прилежащим сторонам.



Общая оценка
3.6 / 5
Комментарии
Другие учебники
Другие предметы