ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 3.16 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Докажите, используя теорему синусов, что биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, длины которых пропорциональны прилежащим сторонам.
В треугольнике \( ABC \) с углом \( \angle A \) и биссектрисой \( AD \), делящей сторону \( BC \) на отрезки \( BD = x \) и \( DC = y \), применяем теорему синусов:
Для треугольника \( ABD \): \( \frac{AB}{\sin(\angle ADB)} = \frac{AD}{\sin(\angle ABD)} \) даёт \( AD = \frac{c \cdot \sin(\angle ABD)}{\sin(\angle ADB)} \).
Для треугольника \( ACD \): \( \frac{AC}{\sin(\angle ADC)} = \frac{AD}{\sin(\angle ACD)} \) даёт \( AD = \frac{b \cdot \sin(\angle ACD)}{\sin(\angle ADC)} \).
Так как \( \angle ADB = \angle ACD \) и \( \angle ADC = \angle ABD \), получаем \( \frac{c \cdot \sin(\angle ABD)}{\sin(\angle ACD)} = \frac{b \cdot \sin(\angle ACD)}{\sin(\angle ABD)} \).
Упрощая, получаем \( c \cdot \sin^2(\angle ABD) = b \cdot \sin^2(\angle ACD) \).
Следовательно, \( \frac{BD}{DC} = \frac{c}{b} \). Таким образом, биссектрисa делит сторону на отрезки, длины которых пропорциональны прилежащим сторонам.
Рассмотрим треугольник \( ABC \) с углом \( \angle A \), биссектрисой \( AD \) и стороной \( BC \), которую биссектрисa делит на отрезки \( BD \) и \( DC \).
Обозначим \( AB = c \), \( AC = b \), \( BD = x \), \( DC = y \).
По теореме синусов в треугольниках \( ABD \) и \( ACD \) имеем:
1. Для треугольника \( ABD \):
\(\frac{AB}{\sin(\angle ADB)} = \frac{AD}{\sin(\angle ABD)}\)
Подставляем значения:
\(\frac{c}{\sin(\angle ADB)} = \frac{AD}{\sin(\angle ABD)}\)
Отсюда:
\(AD = \frac{c \cdot \sin(\angle ABD)}{\sin(\angle ADB)}\) (1)
2. Для треугольника \( ACD \):
\(\frac{AC}{\sin(\angle ADC)} = \frac{AD}{\sin(\angle ACD)}\)
Подставляем значения:
\(\frac{b}{\sin(\angle ADC)} = \frac{AD}{\sin(\angle ACD)}\)
Отсюда:
\(AD = \frac{b \cdot \sin(\angle ACD)}{\sin(\angle ADC)}\) (2)
Так как биссектрисa делит угол \( \angle A \), то:
\(\angle ADB = \angle ACD\) и \(\angle ADC = \angle ABD\).
Следовательно, из (1) и (2) получаем:
\(\frac{c \cdot \sin(\angle ABD)}{\sin(\angle ACD)} = \frac{b \cdot \sin(\angle ACD)}{\sin(\angle ABD)}\).
Умножим обе стороны на \(\sin(\angle ACD) \cdot \sin(\angle ABD)\):
\(c \cdot \sin^2(\angle ABD) = b \cdot \sin^2(\angle ACD)\).
Теперь используем соотношение между отрезками \( BD \) и \( DC \):
\(\frac{BD}{DC} = \frac{x}{y} = \frac{c}{b}\).
Таким образом, получаем:
\(x = k \cdot c\) и \(y = k \cdot b\), где \( k \) — некоторая коэффициент пропорциональности.
Суммируя отрезки, имеем:
\(x + y = c + b\).
Подставляем значения:
\(k \cdot c + k \cdot b = c + b\).
Таким образом, \(k = \frac{1}{1}\).
Следовательно, \(\frac{BD}{DC} = \frac{c}{b}\).
Мы доказали, что биссектрисa треугольника делит его сторону на отрезки, длины которых пропорциональны прилежащим сторонам.