ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 3.17 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, длины которых обратно пропорциональны синусам прилежащих к этой стороне углов.

В треугольнике \(ABC\) с биссектрисой \(AD\) на стороне \(BC\) обозначим \(AB = c\), \(AC = b\), \(BD = x\), \(DC = y\). По свойству биссектрисы: \(\frac{x}{y} = \frac{c}{b}\). Применяя теорему синусов: \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\), получаем \(b = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A}\) и \(c = \frac{a \cdot \sin C}{\sin A}\). Подставив в соотношение отрезков, имеем \(\frac{x}{y} = \frac{\sin C}{\sin B}\). Это означает, что \(\frac{x}{\sin B} = \frac{y}{\sin C}\), что доказывает обратную пропорциональность длин отрезков к синусам углов.

Рассмотрим треугольник \(ABC\) с вершинами \(A\), \(B\) и \(C\). Пусть биссектрисa угла \(A\) пересекает сторону \(BC\) в точке \(D\).

Нам нужно доказать, что длины отрезков \(BD\) и \(DC\) обратно пропорциональны синусам углов \(B\) и \(C\).

1. Обозначим:
— \(AB = c\)
— \(AC = b\)
— \(BC = a\)
— \(BD = x\)
— \(DC = y\)

2. По свойству биссектрисы имеем:
\(\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}\), что можно записать как:
\(\frac{x}{y} = \frac{c}{b}\).

3. Из этого следует:
\(x \cdot b = y \cdot c\) или \(x = \frac{y \cdot c}{b}\).

4. Теперь применим теорему синусов к треугольнику \(ABC\):
\(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\).

5. Из этого равенства выразим \(b\) и \(c\):
\(b = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A}\),
\(c = \frac{a \cdot \sin C}{\sin A}\).

6. Подставим эти выражения в соотношение для отрезков \(BD\) и \(DC\):
\(\frac{x}{y} = \frac{c}{b} = \frac{\frac{a \cdot \sin C}{\sin A}}{\frac{a \cdot \sin B}{\sin A}} = \frac{\sin C}{\sin B}\).

7. Перепишем это как:
\(x \cdot \sin B = y \cdot \sin C\).

8. Это указывает на то, что:
\(\frac{x}{\sin B} = \frac{y}{\sin C}\).

9. Таким образом, длины отрезков \(BD\) и \(DC\) обратно пропорциональны синусам углов \(B\) и \(C\):
\(x \propto \sin C\) и \(y \propto \sin B\).

10. В итоге, мы приходим к выводу, что:
\(\frac{BD}{DC} = \frac{\sin C}{\sin B}\), что и требовалось доказать.