ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 3.18 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Для сторон и углов треугольника АВС выполняется равенство \(\frac{ВС}{cos A} = \frac{АС}{cos B}\). Докажите, что \(АС = ВС\).

Из равенства \(\frac{BC}{\cos A} = \frac{AC}{\cos B}\) получаем \(BC \cdot \cos B = AC \cdot \cos A\). Выразив \(AC\), имеем \(AC = BC \cdot \frac{\cos B}{\cos A}\). Для равенства \(AC = BC\) необходимо, чтобы \(\frac{\cos B}{\cos A} = 1\), что выполняется при \(A = B\). Следовательно, \(AC = BC\).

Рассмотрим равенство

\(\frac{BC}{\cos A} = \frac{AC}{\cos B}\).

1. Умножим обе стороны на \(\cos A \cdot \cos B\):

\(BC \cdot \cos B = AC \cdot \cos A\).

2. Перепишем это уравнение, выразив \(AC\):

\(AC = BC \cdot \frac{\cos B}{\cos A}\).

3. Чтобы доказать, что \(AC = BC\), необходимо, чтобы \(\frac{\cos B}{\cos A} = 1\). Это возможно только в случае, если \(\cos A = \cos B\), что происходит, когда углы \(A\) и \(B\) равны, то есть \(A = B\).

4. Если \(A = B\), то треугольник \(ABC\) является изосцелесовым, следовательно, \(AC = BC\).

Таким образом, при выполнении равенства \(\frac{BC}{\cos A} = \frac{AC}{\cos B}\) мы приходим к выводу, что \(AC = BC\).