ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 3.22 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В треугольнике ABC \(AC = b\), \(ZA = a\), \(ZC = y\). Найдите биссектрису \(BD\) треугольника.

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором даны стороны и углы:

• $AC = b$
• $ZA = a$
• $ZC = y$

Нам нужно найти длину биссектрисы $BD$ в этом треугольнике.

Для этого будем использовать теорему о биссектрисе угла. Теорема о биссектрисе утверждает, что длина биссектрисы угла в треугольнике может быть выражена через стороны треугольника и углы. Для треугольника $ABC$, биссектрису $BD$ можно выразить следующей формулой:

$$BD = \frac{b \sin \alpha \sin \gamma}{\sin (\alpha + \gamma) \cos \frac{\alpha — \gamma}{2}}$$

где:

• $b$ — длина стороны $AC$,
• $\alpha$ — угол $\angle BAC$,
• $\gamma$ — угол $\angle ACB$.

Таким образом, используя эту формулу, мы можем найти длину биссектрисы $BD$.

Для нахождения длины биссектрисы $BD$ в треугольнике $ABC$, где даны стороны $AC = b$, $ZA = a$ и $ZC = y$, воспользуемся теоремой о биссектрисе угла. Эта теорема позволяет выразить длину биссектрисы через стороны треугольника и углы.

Теорема о биссектрисе угла утверждает, что биссектрисы углов треугольников можно выражать через такие параметры, как стороны треугольника и углы, образующие эти стороны. В частности, для угла $\angle ABC$ (то есть угла между сторонами $AB$ и $BC$) длина биссектрисы $BD$, которая делит угол $\angle ABC$ пополам, вычисляется по формуле:

$$BD = \frac{b \sin \alpha \sin \gamma}{\sin (\alpha + \gamma) \cos \frac{\alpha — \gamma}{2}}$$

Здесь:

$b$ — длина стороны $AC$,

$\alpha$ — угол $\angle BAC$, образованный сторонами $AB$ и $AC$,

$\gamma$ — угол $\angle ACB$, образованный сторонами $AC$ и $BC$.

Эта формула связывает длину биссектрисы с синусами углов $\alpha$ и $\gamma$, а также с длиной стороны $AC$, при этом учитывается взаимодействие углов в треугольнике.

Для того чтобы более точно понять, как эта формула работает, рассмотрим ее составные части:

Синус угла $\alpha$ в числителе формулы отражает вклад угла $\alpha$ в длину биссектрисы.

Синус угла $\gamma$ также влияет на длину биссектрисы, но в контексте второго угла, смежного с углом $\alpha$.

$\sin (\alpha + \gamma)$ в знаменателе связан с общей «силой» углов в треугольнике, то есть с тем, как угол $\angle ABC$ влияет на геометрию треугольника.

$\cos \frac{\alpha — \gamma}{2}$ в знаменателе — это дополнительный множитель, который появляется из-за разности углов $\alpha$ и $\gamma$. Он учитывает, насколько сильно различаются углы, а именно, какой эффект это различие оказывает на длину биссектрисы.

Таким образом, каждый компонент формулы играет свою роль в вычислении длины биссектрисы $BD$. Суть формулы заключается в том, что длина биссектрисы зависит от геометрической конфигурации треугольника, определяемой углами и длиной стороны.