ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 3.24 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Отрезок \(CD\) — биссектриса треугольника АВС, в котором \(ZA = a\), \(ZB = \beta\). Через точку \(D\) проведена прямая, которая параллельна стороне ВС и пересекает сторону АС в точке \(Е\), причём \(АЕ = a\). Найдите отрезок \(СЕ\).

Для решения задачи используем теорему о пропорциональности отрезков при проведении прямой, параллельной стороне треугольника.

Так как прямая $DE$ параллельна стороне $BC$, по теореме о биссектрисе имеем пропорцию:

$$\frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} = \frac{\sin \alpha}{\sin \beta}$$

Заменив $AE = a$ и $AC = a + EC$, получаем:

$$\frac{a}{a + EC} = \frac{\sin \alpha}{\sin \beta}$$

Решив это уравнение относительно $EC$, получаем:

$$CE = \frac{a \sin \alpha}{\sin \beta}$$

Для решения задачи используем теорему о пропорциональности отрезков при проведении прямой, параллельной одной из сторон треугольника.

Из условия задачи известно, что $CD$ — биссектриса треугольника $ABC$, то есть она делит угол $\angle ACB$ пополам, а также что прямая, проходящая через точку $D$, параллельна стороне $BC$, и пересекает сторону $AC$ в точке $E$, причём $AE = a$.

Так как прямые $DE$ и $BC$ параллельны, по теореме о пропорциональности отрезков в треугольнике, получаем пропорцию между отрезками на сторонах $AC$ и $BC$.

В треугольнике $ADE$, угол $\angle ADE$ равен углу $\angle ACB$ (так как $DE \parallel BC$), следовательно, можно записать пропорцию:

$$\frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}$$

Так как $AE = a$ и $AC = AE + EC = a + EC$, получаем выражение для $EC$:

$$\frac{a}{a + EC} = \frac{DE}{BC}$$

Применяя теорему о биссектрисе, можно выразить отношение сторон треугольника $AB$ и $BC$, которое зависит от углов $\alpha$ и $\beta$. Согласно этой теореме, имеем:

$$\frac{DE}{BC} = \frac{\sin \alpha}{\sin \beta}$$

Подставив это в предыдущую пропорцию, получаем:

$$\frac{a}{a + EC} = \frac{\sin \alpha}{\sin \beta}$$

Решив это уравнение относительно $EC$, получаем:

$$EC = \frac{a \sin \beta}{\sin \alpha} — a$$

Наконец, ответ для отрезка $CE$ будет:

$$CE = \frac{a \sin \alpha}{\sin \beta}$$