ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 3.25 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Медиана АМ треугольника АВС равна \(m\) и образует со сторонами АВ и АС углы \(a\) и \(b\) соответственно. Найдите стороны АВ и АС.

Медиана $AM$ треугольника $ABC$ равна $m$ и образует углы $\alpha$ и $\beta$ с сторонами $AB$ и $AC$.

Используя закон синусов, для стороны $AB$ получаем:

$$AB = \frac{2m \sin \beta}{\sin (\alpha + \beta)},$$

а для стороны $AC$:

$$AC = \frac{2m \sin \alpha}{\sin (\alpha + \beta)}.$$

Дано, что медиана $AM$ треугольника $ABC$ равна $m$, и она образует углы $\alpha$ и $\beta$ с сторонами $AB$ и $AC$ соответственно. Необходимо найти длины сторон $AB$ и $AC$.

Используем теорему о медиане в треугольнике. Медиана делит треугольник на два треугольника, для которых можно применить закон синусов.

Рассмотрим треугольник $ABM$, в котором:

• угол $\angle BAM = \alpha$,
• сторона $AB = x$ (неизвестная длина),
• медиана $AM = m$.

По закону синусов в треугольнике $ABM$ имеем:

$$\frac{x}{\sin(\beta)} = \frac{m}{\sin(\alpha + \beta)}$$

Отсюда получаем выражение для стороны $AB$:

$$AB = \frac{2m \sin \beta}{\sin (\alpha + \beta)}$$

Теперь рассмотрим треугольник $ACM$, в котором:

• угол $\angle CAM = \alpha$,
• сторона $AC = y$ (неизвестная длина),
• медиана $AM = m$.

По закону синусов в треугольнике $ACM$ имеем:

$$\frac{y}{\sin(\alpha)} = \frac{m}{\sin(\alpha + \beta)}$$

Отсюда получаем выражение для стороны $AC$:

$$AC = \frac{2m \sin \alpha}{\sin (\alpha + \beta)}$$

Таким образом, стороны треугольника $AB$ и $AC$ равны:

$$AB = \frac{2m \sin \beta}{\sin (\alpha + \beta)}, \quad AC = \frac{2m \sin \alpha}{\sin (\alpha + \beta)}$$