ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 3.26 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Медиана CD треугольника АВС образует со сторонами АС и ВС углы \(o\) и \(b\) соответственно, \(ВС = a\). Найдите медиану CD.

Длина медианы $CD$ треугольника $ABC$, образующая углы $\alpha$ и $\beta$ с сторонами $AC$ и $BC$, соответственно, равна:

$$CD = \frac{a \sin (\alpha + \beta)}{2 \sin \alpha}$$

Для того чтобы найти длину медианы $CD$ в треугольнике $ABC$, воспользуемся геометрическими и тригонометрическими соотношениями. Медиана $CD$ делит сторону $AB$ пополам и образует углы с двумя сторонами треугольника. В данной задаче углы, образуемые медианой с сторонами $AC$ и $BC$, равны $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Нам также дана длина стороны $BC = a$.

Используем теорему синусов и известную формулу для медианы в треугольнике, которая связывает длину медианы, углы и сторону. Медиана $CD$ в треугольнике, образующая углы $\alpha$ и $\beta$ с соседними сторонами, может быть вычислена с помощью следующей формулы:

$$CD = \frac{a \sin (\alpha + \beta)}{2 \sin \alpha}$$

Эта формула основывается на теореме синусов, которая связывает углы треугольника и длины его сторон. В данном контексте $\alpha$ и $\beta$ — это углы, которые медиана $CD$ образует с прилегающими сторонами $AC$ и $BC$, а $a$ — это длина стороны $BC$.

Давайте разберемся, как эта формула получена. Мы знаем, что медиана всегда делит противоположную сторону пополам, и используя синусную теорему, можем выразить медиану через углы и сторону. Таким образом, мы приходим к следующему выражению для длины медианы:

$$CD = \frac{a \sin (\alpha + \beta)}{2 \sin \alpha}$$

Это и есть окончательная формула для медианы $CD$ в треугольнике $ABC$, если известны углы $\alpha$ и $\beta$, а также длина стороны $BC = a$.