ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 3.27 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В прямоугольном треугольнике АВС через вершины А и С и сере- дину М гипотенузы АВ проведена окружность радиуса \(R\). Найди- те радиус описанной окружности треугольника СМВ, если \(ZA = a\).

Радиус описанной окружности треугольника $CMV$ равен $R \cdot \tan \alpha$, где $R$ — радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, а $\alpha$ — угол между сторонами $AC$ и $BC$.

Для решения задачи рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором гипотенуза $AB$ является диаметром окружности, проведённой через вершины $A$ и $C$, а также через середину гипотенузы $M$.

Обозначим радиус окружности, проведённой через точки $A$, $C$ и $M$, как $R$.

Так как эта окружность проходит через середину гипотенузы $AB$, то центр окружности будет находиться в середине гипотенузы $AB$. Также известно, что центр окружности является точкой пересечения медианы $CM$ и высоты из вершины $C$, так как в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Теперь, для нахождения радиуса описанной окружности треугольника $CMV$ (где $V$ — это точка на окружности), воспользуемся теоремой о радиусе окружности, описанной около треугольника.

Сначала заметим, что угол между прямыми $AC$ и $BC$ равен $90^\circ$, так как треугольник $ABC$ — прямоугольный. Угол $\angle ACB$ в треугольнике $ABC$ равен $90^\circ$, так как это угол прямого треугольника.

По теореме о радиусе описанной окружности треугольника для треугольника $CMV$, радиус окружности, описанной около треугольника, равен произведению длины стороны треугольника $CM$ на тангенс угла между сторонами $AC$ и $BC$. Так как $\alpha$ — это угол между сторонами $AC$ и $BC$, то радиус окружности будет равен $R \cdot \tan \alpha$.

Таким образом, радиус описанной окружности треугольника $CMV$ равен $R \cdot \tan \alpha$.