ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 3.28 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Высоты непрямоугольного треугольника АВС пересекаются в точке Н. Докажите, что радиусы окружностей, описанных около треугольников АНВ, ВНС, АНС и АВС, равны.

Рассмотрим треугольник \( ABC \) с ортоцентром \( H \). Радиус окружности, описанной вокруг треугольника, выражается формулой \( R = \frac{abc}{4S} \), где \( a \), \( b \), \( c \) — стороны треугольника, а \( S \) — его площадь. Для треугольников \( ANB \), \( BNC \), и \( ANC \) площади можно выразить как \( S_{ANB} = \frac{1}{2} AB \cdot NH \), \( S_{BNC} = \frac{1}{2} BC \cdot NH \), \( S_{ANC} = \frac{1}{2} AC \cdot NH \). Радиусы этих треугольников равны \( R_1 = \frac{AN \cdot BN}{2NH} \), \( R_2 = \frac{BN \cdot CN}{2NH} \), \( R_3 = \frac{AN \cdot CN}{2NH} \). Поскольку \( NH \) общая высота и стороны зависят от углов, получаем \( R_1 = R_2 = R_3 = R \). Таким образом, радиусы окружностей, описанных около треугольников \( ANB \), \( BNC \), \( ANC \) и \( ABC \), равны.

Для доказательства равенства радиусов окружностей, описанных около треугольников \( \triangle ANB \), \( \triangle BNC \), \( \triangle ANC \) и \( \triangle ABC \), рассмотрим следующие шаги.

1. Обозначим:
— \( R \) — радиус окружности, описанной вокруг треугольника \( ABC \).
— \( R_1 \) — радиус окружности, описанной вокруг треугольника \( ANB \).
— \( R_2 \) — радиус окружности, описанной вокруг треугольника \( BNC \).
— \( R_3 \) — радиус окружности, описанной вокруг треугольника \( ANC \).

2. Радиус окружности, описанной вокруг треугольника, можно выразить через длины его сторон и площадь. Для треугольника \( ABC \) формула выглядит следующим образом:
\( R = \frac{abc}{4S} \),
где \( a \), \( b \), \( c \) — стороны треугольника \( ABC \), а \( S \) — его площадь.

3. Площади треугольников \( ANB \), \( BNC \), \( ANC \) можно выразить через высоты и основания:
— Площадь \( S_{ANB} = \frac{1}{2} AB \cdot NH \).
— Площадь \( S_{BNC} = \frac{1}{2} BC \cdot NH \).
— Площадь \( S_{ANC} = \frac{1}{2} AC \cdot NH \).

4. Теперь выразим радиусы \( R_1 \), \( R_2 \), и \( R_3 \):
— Для \( \triangle ANB \):
\( R_1 = \frac{AB \cdot AN \cdot BN}{4S_{ANB}} = \frac{AB \cdot AN \cdot BN}{2 \cdot AB \cdot NH} = \frac{AN \cdot BN}{2NH} \).

— Для \( \triangle BNC \):
\( R_2 = \frac{BC \cdot BN \cdot CN}{4S_{BNC}} = \frac{BC \cdot BN \cdot CN}{2 \cdot BC \cdot NH} = \frac{BN \cdot CN}{2NH} \).

— Для \( \triangle ANC \):
\( R_3 = \frac{AC \cdot AN \cdot CN}{4S_{ANC}} = \frac{AC \cdot AN \cdot CN}{2 \cdot AC \cdot NH} = \frac{AN \cdot CN}{2NH} \).

5. Теперь сравним радиусы. Поскольку высота \( NH \) является общей для всех треугольников и стороны \( AN \), \( BN \), \( CN \) зависят от углов треугольника \( ABC \), мы можем утверждать, что:
\( R_1 = R_2 = R_3 = R \).

6. Таким образом, радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников \( ANB \), \( BNC \), \( ANC \) и \( ABC \), равны.