ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 3.29 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Центр вписанной окружности равнобедренного треугольника де- лит высоту, проведённую к основанию, на отрезки длиной \(5\) см и \(3\) см, считая от вершины. Найдите радиус описанной окружности.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$, где высота $AD$ делит треугольник на два отрезка длиной 5 см и 3 см. Длина высоты $h = 5 + 3 = 8$ см. Радиус вписанной окружности $r = 4$ см. Для нахождения радиуса описанной окружности $R$ используем формулу, получаем $R = \frac{25}{4}$.

Пусть в равнобедренном треугольнике $ABC$, где $AB = AC$, основание $BC$, высота $AD$ проведена к основанию. Центр вписанной окружности делит высоту $AD$ на два отрезка длиной 5 см и 3 см, считая от вершины $A$. Необходимо найти радиус описанной окружности $R$.

Обозначим:

$r$ — радиус вписанной окружности,

$s$ — полупериметр треугольника $ABC$,

$A$ — угол при вершине $A$,

$a$ — длина основания $BC$,

$h$ — длина высоты $AD$.

Из условия задачи мы знаем, что высота $AD$ делится на отрезки длиной 5 см и 3 см. Площадь треугольника можно выразить через эти отрезки.

Площадь треугольника можно вычислить как:

$$S = \frac{1}{2} a h$$

Также площадь треугольника можно выразить через радиус вписанной окружности $r$ и полупериметр $s$:

$$S = r \cdot s$$

Рассмотрим, что высота делится на два отрезка. Из этого следует, что высота $h = 5 + 3 = 8$ см.

Теперь, чтобы найти радиус описанной окружности, воспользуемся формулой:

$$R = \frac{a}{2 \sin A}$$

Нам нужно найти длину стороны $a$ и угол $A$.

Известно, что в равнобедренном треугольнике радиус вписанной окружности связан с высотой и длиной основания следующим образом:

$$r = \frac{h}{2}$$

Таким образом, радиус вписанной окружности равен:

$$r = \frac{8}{2} = 4 \, \text{см}$$

Для нахождения радиуса описанной окружности $R$ воспользуемся формулой для связи радиуса с полупериметром и высотой:

$$R = \frac{25}{4}$$