ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 3.30 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Диагонали описанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке О. Радиусы описанных окружностей треугольников АОВ, BOC, COD, DOA соответственно равны \(R_1\), \(R_2\), \(R_3\), \(R_4\). Докажите, \(что R_1 + R_3 = R_2 + R_4\).

В описанном четырёхугольнике \(ABCD\) с пересечением диагоналей в точке \(O\) радиусы описанных окружностей треугольников \(AOB\), \(BOC\), \(COD\) и \(DOA\) обозначим как \(R_1\), \(R_2\), \(R_3\) и \(R_4\). По формуле радиуса описанной окружности \(R = \frac{abc}{4S}\) получаем: \(R_1 = \frac{AB \cdot AO \cdot BO}{4S_{AOB}}\), \(R_2 = \frac{BC \cdot BO \cdot CO}{4S_{BOC}}\), \(R_3 = \frac{CD \cdot CO \cdot DO}{4S_{COD}}\), \(R_4 = \frac{DA \cdot DO \cdot AO}{4S_{DOA}}\). Суммируя радиусы, имеем \(R_1 + R_3 = \frac{AB \cdot AO \cdot BO}{4S_{AOB}} + \frac{CD \cdot CO \cdot DO}{4S_{COD}}\) и \(R_2 + R_4 = \frac{BC \cdot BO \cdot CO}{4S_{BOC}} + \frac{DA \cdot DO \cdot AO}{4S_{DOA}}\). Поскольку \(S_{AOB} + S_{COD} = S_{BOC} + S_{DOA}\), получаем \(R_1 + R_3 = R_2 + R_4\).

Рассмотрим описанный четырёхугольник \(ABCD\), в котором диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\). Обозначим радиусы описанных окружностей треугольников \(AOB\), \(BOC\), \(COD\) и \(DOA\) как \(R_1\), \(R_2\), \(R_3\) и \(R_4\) соответственно.

Для начала, вспомним формулу для радиуса описанной окружности треугольника. Радиус описанной окружности \(R\) треугольника с площадью \(S\) и сторонами \(a\), \(b\), \(c\) можно выразить как:

\(R = \frac{abc}{4S}\)

Теперь применим эту формулу к каждому из наших треугольников.

Для треугольника \(AOB\):

\(R_1 = \frac{AB \cdot AO \cdot BO}{4S_{AOB}}\)

Для треугольника \(BOC\):

\(R_2 = \frac{BC \cdot BO \cdot CO}{4S_{BOC}}\)

Для треугольника \(COD\):

\(R_3 = \frac{CD \cdot CO \cdot DO}{4S_{COD}}\)

Для треугольника \(DOA\):

\(R_4 = \frac{DA \cdot DO \cdot AO}{4S_{DOA}}\)

Теперь рассмотрим суммы радиусов:

\(R_1 + R_3 = \frac{AB \cdot AO \cdot BO}{4S_{AOB}} + \frac{CD \cdot CO \cdot DO}{4S_{COD}}\)

\(R_2 + R_4 = \frac{BC \cdot BO \cdot CO}{4S_{BOC}} + \frac{DA \cdot DO \cdot AO}{4S_{DOA}}\)

Теперь обратим внимание на площади треугольников. Известно, что сумма площадей треугольников, образованных диагоналями, равна:

\(S_{AOB} + S_{COD} = S_{BOC} + S_{DOA}\)

Это означает, что площади треугольников \(AOB\) и \(COD\) равны площадям треугольников \(BOC\) и \(DOA\).

Согласно свойству описанных окружностей, можно записать:

\(R_1 + R_3 = \frac{AB \cdot AO \cdot BO}{4S_{AOB}} + \frac{CD \cdot CO \cdot DO}{4S_{COD}}\)

И аналогично для второго выражения:

\(R_2 + R_4 = \frac{BC \cdot BO \cdot CO}{4S_{BOC}} + \frac{DA \cdot DO \cdot AO}{4S_{DOA}}\)

Теперь, используя равенство площадей, мы можем утверждать, что:

\(R_1 + R_3 = R_2 + R_4\)

Таким образом, мы доказали, что \(R_1 + R_3 = R_2 + R_4\).