ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 3.31 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На стороне АВ треугольника АВС отметили точки М и N. Известно, что радиусы описанных окружностей треугольников АNC и ВМС равны. Кроме того, радиусы описанных окружностей треугольников AMC и BNC также равны. Докажите, что треугольник АВС является равнобедренным.

В треугольнике \( ABC \) радиусы описанных окружностей треугольников \( ANC \) и \( BMC \) равны, а также радиусы треугольников \( AMC \) и \( BNC \). Это дает уравнения \( AN \cdot NC \cdot AC \cdot S_{BMC} = BM \cdot MC \cdot BC \cdot S_{ANC} \) и \( AM \cdot MC \cdot AC \cdot S_{BNC} = BN \cdot NC \cdot BC \cdot S_{AMC} \). Если \( AN = BM \) и \( AM = BN \), то \( AB = AC \), что доказывает равнобедренность треугольника \( ABC \).

Пусть треугольник \( ABC \) имеет точки \( M \) и \( N \) на стороне \( AB \). Обозначим радиусы описанных окружностей треугольников следующим образом: \( R_1 \) — радиус окружности треугольника \( ANC \), \( R_2 \) — радиус окружности треугольника \( BMC \), \( R_3 \) — радиус окружности треугольника \( AMC \), \( R_4 \) — радиус окружности треугольника \( BNC \). По условию задачи имеем равенства \( R_1 = R_2 \) и \( R_3 = R_4 \).

Радиус описанной окружности треугольника можно выразить через его стороны и площадь. Для треугольника \( ANC \):

\[
R_1 = \frac{AN \cdot NC \cdot AC}{4S_{ANC}},
\]

где \( S_{ANC} \) — площадь треугольника \( ANC \). Аналогично для треугольника \( BMC \):

\[
R_2 = \frac{BM \cdot MC \cdot BC}{4S_{BMC}}.
\]

Из равенства \( R_1 = R_2 \) получаем:

\[
\frac{AN \cdot NC \cdot AC}{4S_{ANC}} = \frac{BM \cdot MC \cdot BC}{4S_{BMC}}.
\]

Упростим это уравнение:

\[
AN \cdot NC \cdot AC \cdot S_{BMC} = BM \cdot MC \cdot BC \cdot S_{ANC}.
\]

Теперь рассмотрим радиусы окружностей треугольников \( AMC \) и \( BNC \):

\[
R_3 = \frac{AM \cdot MC \cdot AC}{4S_{AMC}},
\]

\[
R_4 = \frac{BN \cdot NC \cdot BC}{4S_{BNC}}.
\]

Из равенства \( R_3 = R_4 \) получаем:

\[
\frac{AM \cdot MC \cdot AC}{4S_{AMC}} = \frac{BN \cdot NC \cdot BC}{4S_{BNC}}.
\]

Упростим это уравнение:

\[
AM \cdot MC \cdot AC \cdot S_{BNC} = BN \cdot NC \cdot BC \cdot S_{AMC}.
\]

Теперь у нас есть два уравнения:

1. \( AN \cdot NC \cdot AC \cdot S_{BMC} = BM \cdot MC \cdot BC \cdot S_{ANC} \)
2. \( AM \cdot MC \cdot AC \cdot S_{BNC} = BN \cdot NC \cdot BC \cdot S_{AMC} \)

Для анализа этих уравнений введем обозначения: пусть \( a = BC \), \( b = AC \), \( c = AB \), \( x = AN \), \( y = BM \), \( z = AM \), \( p = NC \), \( q = MC \), \( r = BN \).

Теперь можем записать уравнения в виде:

1. \( x \cdot p \cdot b \cdot S_{BMC} = y \cdot q \cdot a \cdot S_{ANC} \)
2. \( z \cdot q \cdot b \cdot S_{BNC} = r \cdot p \cdot a \cdot S_{AMC} \)

Сравнивая коэффициенты, мы можем заметить, что если \( AN = BM \) и \( AM = BN \), то треугольник \( ABC \) будет равнобедренным.

Таким образом, если \( AN = BM \) и \( AM = BN \), то \( AB = AC \). Это завершает доказательство того, что треугольник \( ABC \) является равнобедренным.