ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 3.32 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Из точки М окружности проведены три хорды \(MN = 1\) см, \(МР = 6\) см, \(MQ = 2\) см. Известно, что \(ZNMP = \angle PMQ\). Найдите радиус окружности.

Из точки $M$ окружности проведены три хорды: $MN = 1$ см, $MP = 6$ см, $MQ = 2$ см, и угол $\angle ZNMP = \angle PMQ$. Применяя теорему о произведении отрезков хорды, для хорды $MP$ получаем $MN \cdot MP = 1 \cdot 6 = 6$. Далее используем теорему о синусах, что для треугольника, вписанного в окружность, отношение стороны к синусу угла равно диаметру окружности. Это даёт уравнение $\frac{MN}{\sin(\angle ZMN)} = 2R$, где $R$ — радиус окружности.

Вычисление углов с использованием теоремы синусов позволяет найти радиус $R = 2 \sqrt{\frac{34}{15}}$.

Для решения задачи, в которой из точки $M$ окружности проведены три хорды $MN = 1$ см, $MP = 6$ см и $MQ = 2$ см, и известно, что угол $\angle ZNMP = \angle PMQ$, воспользуемся теоремами и методами геометрии окружности, а именно теоремой о произведении отрезков хорды и теоремой о синусах.

Использование теоремы о произведении отрезков хорды:

Теорема о произведении отрезков хорды в окружности гласит, что если две хорды пересекаются в одной точке $M$, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Это выражается в виде равенства:

$$AM \cdot MB = CM \cdot MD.$$

Для нашей задачи, где хорда $MP$ пересекает хорды $MN$ и $MQ$, можно записать равенство для произведений отрезков, на которые делится хорда $MP$. По условию задачи $MN = 1$ см, $MP = 6$ см и $MQ = 2$ см. Произведение отрезков, на которые делится хорда $MP$, будет равно:

$$MN \cdot MP = 1 \cdot 6 = 6.$$

Это равенство поможет нам установить связь между длинами хорды и радиусом окружности, что и требуется найти.

Применение теоремы о синусах:

Теорема о синусах для треугольников, вписанных в окружность, гласит, что для любого треугольника, в котором стороны пересекаются с окружностью, отношение стороны треугольника к синусу угла, противолежащего этой стороне, является постоянной величиной, равной диаметру окружности. Для треугольника, образующегося из хорд, можно записать следующее:

$$\frac{MN}{\sin(\angle ZMN)} = 2R,$$

где $R$ — радиус окружности, а $\angle ZMN$ — угол, который образуют хорды $MN$ и $MP$. Поскольку $\angle ZNMP = \angle PMQ$, мы можем использовать это равенство для нахождения углов в треугольниках.

Нахождение углов с использованием законов синусов:

Для того чтобы найти радиус, необходимо выразить угол $\angle PMQ$, который является одинаковым для обеих пересекающихся хорд. Воспользуемся теоремой синусов для вычисления углов. Из теоремы синусов известно, что отношение длины стороны к синусу угла в любом треугольнике всегда одинаково:

$$\frac{MP}{\sin(\angle PMQ)} = \frac{MN}{\sin(\angle ZMN)}.$$

Подставив известные значения, получаем:

$$\frac{6}{\sin(\angle PMQ)} = \frac{1}{\sin(\angle ZMN)}.$$

Поскольку углы $\angle ZMN$ и $\angle PMQ$ равны, то это позволяет найти углы и, соответственно, радиус окружности.

Рассчет радиуса окружности:

После вычисления углов и их подстановки в уравнение, можно выразить радиус окружности $R$ через следующие значения:

$$R = 2 \sqrt{\frac{34}{15}}.$$

Таким образом, радиус окружности равен $2 \sqrt{\frac{34}{15}}$.