ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 3.35 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Из точки М окружности на её диаметры \(AB\) и \(CD\) опустили перпендикуляры. Докажите, что расстояние между основаниями перпендикуляров не зависит от выбора точки М.

Пусть \( M(x, y) \) — точка на окружности радиуса \( R \) с центром в \( O \). Перпендикуляры из \( M \) на диаметры \( AB \) и \( CD \) пересекаются в точках \( P(x, 0) \) и \( Q(0, y) \). Расстояние между \( P \) и \( Q \) вычисляется как \( d = \sqrt{(x — 0)^2 + (0 — y)^2} = \sqrt{x^2 + y^2} \). Поскольку \( x^2 + y^2 = R^2 \), получаем \( d = \sqrt{R^2} = R \). Таким образом, расстояние между основаниями перпендикуляров всегда равно \( R \).

Пусть окружность имеет радиус \( R \) и центр в точке \( O \). Рассмотрим диаметры \( AB \) и \( CD \), которые перпендикулярны друг другу и пересекаются в точке \( O \).

1. Обозначим точки на окружности: пусть точка \( M \) имеет координаты \( (x, y) \), такие что \( x^2 + y^2 = R^2 \).

2. Перпендикуляр, опущенный из точки \( M \) на диаметр \( AB \), пересекает его в точке \( P \). Поскольку диаметр \( AB \) лежит на оси \( x \), координаты точки \( P \) будут \( (x, 0) \).

3. Перпендикуляр, опущенный из точки \( M \) на диаметр \( CD \), пересекает его в точке \( Q \). Так как диаметр \( CD \) лежит на оси \( y \), координаты точки \( Q \) будут \( (0, y) \).

4. Теперь найдем расстояние \( d \) между точками \( P \) и \( Q \) по формуле расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:
\[
d = \sqrt{(x — 0)^2 + (0 — y)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}
\]

5. Поскольку точка \( M \) лежит на окружности, то выполняется равенство \( x^2 + y^2 = R^2 \). Подставим это значение в формулу для расстояния:
\[
d = \sqrt{R^2} = R
\]

6. Таким образом, расстояние между основаниями перпендикуляров \( P \) и \( Q \) равно \( R \), что доказывает, что это расстояние не зависит от выбора точки \( M \) на окружности.

Следовательно, расстояние между основаниями перпендикуляров всегда равно радиусу окружности \( R \).