ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 3.36 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Около треугольника АВС описана окружность. Из произвольной точки М окружности опущены перпендикуляры \(MN\) и \(МК\) на прямые АВ и АС соответственно. Для какой точки М длина отрезка \(NK\) будет максимальной?

Длина отрезка $NK$ будет максимальной, если точка $M$ лежит на диаметре окружности $AM$.

Дано: треугольник $ABC$, окружность, описанная около этого треугольника, и точка $M$, лежащая на этой окружности. Из точки $M$ опущены перпендикуляры $MN$ и $MK$ на прямые $AB$ и $AC$ соответственно. Нужно найти, для какой точки $M$ длина отрезка $NK$ будет максимальной.

Решение:

Пусть точка $M$ лежит на окружности, описанной около треугольника $ABC$. Окружность касается всех трёх сторон треугольника, и окружность, описанная около треугольника, также имеет определённые геометрические свойства.

Из точки $M$ опущены перпендикуляры $MN$ и $MK$ на прямые $AB$ и $AC$ соответственно. Точки $N$ и $K$ являются точками пересечения перпендикуляров с прямыми $AB$ и $AC$.

Рассмотрим, что длина отрезка $NK$ зависит от того, где расположена точка $M$ на окружности. Очевидно, что длина отрезка $NK$ будет изменяться в зависимости от положения точки $M$ на окружности.

Известно, что для максимальной длины отрезка $NK$ необходимо, чтобы точки $A, N, M, K$ лежали на одной окружности. Это свойство является следствием теоремы о четырёх точках на одной окружности: если на окружности находятся четыре точки, то они удовлетворяют определённому свойству, которое позволяет найти максимальное расстояние между точками.

Чтобы $A, N, M, K$ лежали на одной окружности, точка $M$ должна быть такой, чтобы линия $AM$ была диаметром этой окружности. Это объясняется тем, что для диаметра окружности отрезок, соединяющий две точки на окружности, всегда будет максимальной длины.

Таким образом, длина отрезка $NK$ будет максимальной, если точка $M$ будет располагаться на диаметре окружности, то есть если $AM$ является диаметром окружности.

Ответ: длина отрезка $NK$ будет максимальной, если точка $M$ лежит на диаметре окружности $AM$.