ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 3.39 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В треугольнике АВС на стороне АВ существует такая точка \(D\), \(что \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}\). Докажите, что угол С тупой.

В треугольнике \(ABC\) на стороне \(AB\) существует точка \(D\), такая что \(\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}\). Обозначим \(AD = x\), \(DC = y\), \(AB = c\), \(BC = a\). Из условия \(\frac{x}{y} = \frac{c}{a}\) следует, что \(x = \frac{c}{a} \cdot y\). Рассмотрим треугольники \(ADC\) и \(BDC\). По теореме о синусах имеем \(\frac{AD}{\sin \angle ADB} = \frac{AB}{\sin \angle ACB}\) и \(\frac{DC}{\sin \angle BDC} = \frac{BC}{\sin \angle ACB}\). Подставляя значения, получаем \(\sin \angle ADB = \frac{x \cdot \sin \angle ACB}{c}\) и \(\sin \angle BDC = \frac{y \cdot \sin \angle ACB}{a}\). Поскольку \(y = \frac{a}{c} x\), можем утверждать, что \(\sin \angle ADB = \sin \angle BDC\), что возможно только при \( \angle ADB + \angle BDC = 180^\circ\). Это указывает на то, что угол \(C\) является тупым.

В треугольнике \(ABC\) на стороне \(AB\) существует точка \(D\), такая что \(\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}\). Обозначим \(AD = x\), \(DC = y\), \(AB = c\), \(BC = a\). Тогда из условия задачи получаем:

\(\frac{x}{y} = \frac{c}{a}\)

Отсюда следует, что:

\(x = \frac{c}{a} \cdot y\)

Теперь рассмотрим треугольники \(ADC\) и \(BDC\). По теореме о синусах в этих треугольниках имеем:

согласно теореме о синусах:

\(\frac{AD}{\sin \angle ADB} = \frac{AB}{\sin \angle ACB}\)

Подставляем \(AD\) и \(AB\):

\(\frac{x}{\sin \angle ADB} = \frac{c}{\sin \angle ACB}\)

Аналогично для треугольника \(BDC\):

\(\frac{DC}{\sin \angle BDC} = \frac{BC}{\sin \angle ACB}\)

Подставляем \(DC\) и \(BC\):

\(\frac{y}{\sin \angle BDC} = \frac{a}{\sin \angle ACB}\)

Теперь выразим \(\sin \angle ADB\) и \(\sin \angle BDC\):

\(\sin \angle ADB = \frac{x \cdot \sin \angle ACB}{c}\)

\(\sin \angle BDC = \frac{y \cdot \sin \angle ACB}{a}\)

Теперь подставим \(x\) и \(y\) в эти выражения. Мы знаем, что \(y = \frac{a}{c} x\), следовательно:

\(\sin \angle BDC = \frac{\left(\frac{a}{c} x\right) \cdot \sin \angle ACB}{a} = \frac{x \cdot \sin \angle ACB}{c}\)

Таким образом, получаем:

\(\sin \angle ADB = \sin \angle BDC\)

Это возможно только в том случае, если \(\angle ADB\) и \(\angle BDC\) являются дополнительными углами. Поскольку сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\), то:

\(\angle ADB + \angle BDC = 180^\circ\)

Это означает, что один из углов должен быть тупым. Следовательно, угол \(C\) должен быть тупым, так как он является внешним углом для треугольника \(ADB\) и \(BDC\).

Таким образом, мы приходим к выводу, что угол \(C\) в треугольнике \(ABC\) является тупым.