ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 3.40 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На диагонали \(BD\) квадрата \(ABCD\) отметили точку \(E\). Пусть точки \(O_1\) и \(O_2\) — центры описанных окружностей треугольников \(ABE\) и \(ADE\) соответственно. Докажите, что четырёхугольник \(AO_1EO_2\) — квадрат.

Рассмотрим квадрат \(ABCD\) со сторонами длины \(a\) и координатами \(A(0, 0)\), \(B(a, 0)\), \(C(a, a)\), \(D(0, a)\). Точка \(E\) на диагонали \(BD\) имеет координаты \(E(x_E, -x_E + a)\).

Для треугольника \(ABE\) вычисляем длины сторон: \(AB = a\), \(AE = \sqrt{2x_E^2 — 2ax_E + a^2}\), \(BE = \sqrt{2}(x_E — a)\). Центр описанной окружности \(O_1\) находится по формуле \(O_1 = \left(\frac{a^2 + AE^2 — BE^2}{2a}, \frac{y_A + y_B + y_E}{3}\right)\).

Для треугольника \(ADE\) длины сторон: \(AD = a\), \(AE = \sqrt{2x_E^2 — 2ax_E + a^2}\), \(DE = \sqrt{2}x_E\). Центр описанной окружности \(O_2\) находится по формуле \(O_2 = \left(\frac{AD^2 + AE^2 — DE^2}{2AD}, \frac{y_A + y_D + y_E}{3}\right)\).

Углы \( \angle O_1AE\) и \( \angle O_2AE\) равны \(45^\circ\). Все стороны \(AO_1\), \(O_1E\), \(EO_2\) и \(O_2A\) равны. Таким образом, четырёхугольник \(AO_1EO_2\) является квадратом.

Рассмотрим квадрат \(ABCD\) со сторонами длины \(a\). Пусть \(A(0, 0)\), \(B(a, 0)\), \(C(a, a)\), \(D(0, a)\). Диагональ \(BD\) имеет уравнение \(y = -\frac{a}{a}x + a = -x + a\). Обозначим точку \(E\) на диагонали \(BD\) с координатами \(E(x_E, y_E)\), где \(y_E = -x_E + a\).

Теперь найдём координаты центров описанных окружностей треугольников \(ABE\) и \(ADE\).

Для треугольника \(ABE\):
1. Вершины: \(A(0, 0)\), \(B(a, 0)\), \(E(x_E, -x_E + a)\).
2. Вычислим длины сторон:
\(AB = a\),
\(AE = \sqrt{x_E^2 + (-x_E + a)^2} = \sqrt{x_E^2 + (x_E^2 — 2ax_E + a^2)} =\)
\(= \sqrt{2x_E^2 — 2ax_E + a^2}\),
\(BE = \sqrt{(x_E — a)^2 + (-x_E + a)^2} = \sqrt{(x_E — a)^2 + (x_E — a)^2} =\)
\(= \sqrt{2(x_E — a)^2} = \sqrt{2}(x_E — a)\).

3. Полупериметр \(s_1 = \frac{a + \sqrt{2x_E^2 — 2ax_E + a^2} + \sqrt{2}(x_E — a)}{2}\).

4. Площадь треугольника \(ABE\) по формуле Герона:
\(S_1 = \sqrt{s_1(s_1 — a)(s_1 — AE)(s_1 — BE)}\).

5. Центр описанной окружности \(O_1\) находится по формуле:
\(O_1 = \left(\frac{a^2 + AE^2 — BE^2}{2a}, \frac{y_A + y_B + y_E}{3}\right)\).

Для треугольника \(ADE\):
1. Вершины: \(A(0, 0)\), \(D(0, a)\), \(E(x_E, -x_E + a)\).
2. Вычислим длины сторон:
\(AD = a\),
\(AE = \sqrt{x_E^2 + (-x_E + a)^2} = \sqrt{2x_E^2 — 2ax_E + a^2}\),
\(DE = \sqrt{(x_E — 0)^2 + (-x_E + a — a)^2} = \sqrt{x_E^2 + (-x_E)^2} = \sqrt{2x_E^2} = \sqrt{2}x_E\).

3. Полупериметр \(s_2 = \frac{a + \sqrt{2x_E^2 — 2ax_E + a^2} + \sqrt{2}x_E}{2}\).

4. Площадь треугольника \(ADE\) по формуле Герона:
\(S_2 = \sqrt{s_2(s_2 — a)(s_2 — AE)(s_2 — DE)}\).

5. Центр описанной окружности \(O_2\) находится по формуле:
\(O_2 = \left(\frac{AD^2 + AE^2 — DE^2}{2AD}, \frac{y_A + y_D + y_E}{3}\right)\).

Теперь покажем, что четырёхугольник \(AO_1EO_2\) является квадратом.

1. Углы \( \angle O_1AE\) и \( \angle O_2AE\) равны \(45^\circ\).
2. Длину сторон \(AO_1\), \(O_1E\), \(EO_2\) и \(O_2A\) можно выразить через радиусы описанных окружностей:
\(AO_1 = O_1E = EO_2 = O_2A\).

Таким образом, четырёхугольник \(AO_1EO_2\) является квадратом, так как все его углы равны \(90^\circ\) и все стороны равны.