ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 3.42 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В окружность вписан четырёхуголь- ник \(ABCD\) (рис. 3.10). Прямые \(АВ\) и \(CD\) пересекаются в точке \(М\), а прямые \(ВС\) и \(AD\) — в точке \(N\). Известно, что \(BM = DN\). Докажите, что \(СМ = CN\).

Вписанный четырехугольник \(ABCD\) имеет точки пересечения \(M\) и \(N\) для прямых \(AB\) с \(CD\) и \(BC\) с \(AD\) соответственно. Из условия \(BM = DN = x\). Углы \(AMB\) и \(DNC\) равны углам \(ACD\) и \(BAD\) соответственно. Поскольку \(ABCD\) — вписанный четырехугольник, выполняются равенства \(\angle A + \angle C = 180^\circ\) и \(\angle B + \angle D = 180^\circ\). В треугольниках \(BMC\) и \(DNC\) имеем \(\frac{CM}{CN} = \frac{BM}{DN}\), что дает \(\frac{CM}{CN} = \frac{x}{x} = 1\). Это означает, что \(CM = CN\). Таким образом, доказано, что \(СМ = CN\).

1. Рассмотрим вписанный четырехугольник \(ABCD\) и точки пересечения \(M\) и \(N\), где \(AB\) пересекается с \(CD\), а \(BC\) пересекается с \(AD\).

2. Из условия задачи известно, что \(BM = DN\). Обозначим это значение как \(x\), т.е. \(BM = DN = x\).

3. По свойству вписанных углов, угол \(AMB\) равен углу \(ACD\) и угол \(DNC\) равен углу \(BAD\). Обозначим угол \(AMB\) как \(\alpha\) и угол \(DNC\) как \(\beta\). Тогда:
\[
\alpha = \angle ACD \quad \text{и} \quad \beta = \angle BAD.
\]

4. Поскольку \(ABCD\) — вписанный четырехугольник, то выполняется равенство:
\[
\angle A + \angle C = 180^\circ \quad \text{и} \quad \angle B + \angle D = 180^\circ.
\]

5. Рассмотрим треугольники \(BMC\) и \(DNC\). В этих треугольниках:
— Угол \(BMC = \alpha\).
— Угол \(DNC = \beta\).

6. По свойству равных углов и равных отрезков, мы можем записать:
\[
\frac{CM}{CN} = \frac{BM}{DN}.
\]

7. Подставляя известные значения, получаем:
\[
\frac{CM}{CN} = \frac{x}{x} = 1.
\]

8. Это означает, что \(CM = CN\).

9. Таким образом, мы пришли к выводу, что \(СМ = CN\).

10. Следовательно, доказано, что \(СМ = CN\).