ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 3.6 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Диагональ параллелограмма равна \(d\) и образует с его сторонами углы \(α\) и \(β\). Найдите стороны параллелограмма.

Длины сторон $a$ и $b$ треугольника, где известна сторона $d$ и углы $\alpha$ и $\beta$, вычисляются по формулам:

$$a = \frac{d \cdot \sin \alpha}{\sin (\alpha + \beta)}, \quad b = \frac{d \cdot \sin \beta}{\sin (\alpha + \beta)}.$$

Рассмотрим треугольник, в котором известна сторона $d$, а также углы $\alpha$ и $\beta$, примыкающие к этой стороне. Нам нужно найти длины двух других сторон треугольника, которые обозначим как $a$ и $b$, где сторона $a$ лежит напротив угла $\alpha$, а сторона $b$ — напротив угла $\beta$. Третий угол треугольника, $\gamma$, можно найти, используя теорему о сумме углов треугольника:

$$\gamma = 180^\circ — \alpha — \beta.$$

Применим теорему синусов, которая гласит, что для любого треугольника отношение длины стороны к синусу угла, противолежащего этой стороне, одинаково для всех сторон. То есть для треугольника, в котором известны угол и сторона, выполняется следующее соотношение:

$$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{d}{\sin (\alpha + \beta)}.$$

Из этого соотношения можно выразить стороны $a$ и $b$ по отдельности.

Для начала выразим сторону $a$. Из теоремы синусов мы знаем, что:

$$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{d}{\sin (\alpha + \beta)}.$$

Перемножим обе части этого равенства на $\sin (\alpha + \beta)$ и получим:

$$a = \frac{d \cdot \sin \alpha}{\sin (\alpha + \beta)}.$$

Аналогично, чтобы найти сторону $b$, из теоремы синусов имеем:

$$\frac{b}{\sin \beta} = \frac{d}{\sin (\alpha + \beta)}.$$

Умножив обе части на $\sin (\alpha + \beta)$, получаем:

$$b = \frac{d \cdot \sin \beta}{\sin (\alpha + \beta)}.$$

Таким образом, длины сторон $a$ и $b$ можно выразить как:

$$a = \frac{d \cdot \sin \alpha}{\sin (\alpha + \beta)}, \quad b = \frac{d \cdot \sin \beta}{\sin (\alpha + \beta)}.$$

Эти выражения дают точные значения длин сторон треугольника в зависимости от известной стороны $d$ и углов $\alpha$ и $\beta$, которые примыкают к стороне $d$.