ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 3.9 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На продолжении стороны АВ треугольника АВС за точку В отметили точку D. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ACD, если \(ZABC = 60°\), \(ZADC = 45°\), а радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен \(4\) см.

Для решения задачи нам нужно найти радиус окружности, описанной около треугольника

$ABC$

, с учетом его характеристик.

Дано:

Треугольник

$ABC$

с вершинами

$A$

,

$B$

,

$C$

.

Прямая

$AB$

продолжена до точки

$D$

.

Известно, что угол

$\angle ABC = 60^\circ$

, угол

$\angle ADC = 45^\circ$

.

Радиус окружности, описанной около треугольника

$ABC$

, равен 1 см.

Шаг 1: Найдем длину отрезка

$AB$

и

$AC$

с использованием теоремы о синусах.

Важно заметить, что в задаче используются несколько ключевых формул и теорем, среди которых теорема о синусах и дополнительные углы для вычисления радиуса.

Шаг 2: Вспомогательные вычисления:

Исходя из применения теоремы синусов, получаем:

Для треугольника

$ABC$

можно записать следующее соотношение:

$$\frac{AB}{\sin \angle ABC} = \frac{AC}{\sin \angle ACB}$$

Подставим значения углов и сторон.

Шаг 3: Используем угол между сторонами:

В треугольнике

$ABC$

в котором угол между сторонами равен

$60^\circ$

, можно продолжить решение с использованием стандартной тригонометрической формулы.

$$\text{Радиус окружности } R = 2 \cdot \sqrt{6} \, (\text{см}).$$

Ответ: радиус окружности, описанной около треугольника

$ABC$

, равен

$2\sqrt{6}$

см.

На продолжении стороны

$AB$

треугольника

$ABC$

находится точка

$D$

. Необходимо найти радиус окружности, описанной около треугольника

$ABC$

, если угол

$\angle ABC = 60^\circ$

, угол

$\angle ADC = 45^\circ$

, а радиус окружности, описанной вокруг треугольника

$ABC$

, равен 1 см.

Для начала рассмотрим теорему о синусах в треугольнике

$ABC$

. Она утверждает, что для любого треугольника существует следующее соотношение:

$$\frac{AB}{\sin \angle ABC} = \frac{AC}{\sin \angle ACB} = \frac{BC}{\sin \angle BAC} = 2R$$

где

$R$

— радиус окружности, описанной вокруг треугольника.

Из этой теоремы мы можем выразить сторону

$AB$

через радиус

$R$

и угол

$\angle ABC$

:

$$AB = 2R \cdot \sin \angle ABC$$

Подставим значения из условия задачи: угол

$\angle ABC = 60^\circ$

, а радиус окружности

$R = 1$

см:

$$AB = 2 \cdot 1 \cdot \sin 60^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$$

Таким образом, длина стороны

$AB$

равна

$\sqrt{3}$

см.

Теперь воспользуемся тем, что треугольник

$ABC$

является частью более сложной фигуры, и продолжим решение для вычисления длины стороны

$AC$

.

Так как точка

$D$

лежит на продолжении стороны

$AB$

, то для треугольника

$ABC$

угол

$\angle ACB$

можно выразить через углы других частей окружности.

Для нахождения радиуса окружности, описанной около треугольника

$ABC$

, используем теорему о радиусе окружности через синусы углов:

$$R = \frac{a}{2 \cdot \sin \alpha}$$

где

$a$

— одна из сторон треугольника, а

$\alpha$

— угол, противоположный этой стороне.

Подставим полученные значения и продолжим вычисления:

$$R = \frac{4 \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot \sqrt{2}} = 2 \sqrt{6} \, (\text{см})$$

Ответ: радиус окружности, описанной около треугольника

$ABC$

, равен

$2 \sqrt{6}$

см.