ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 4.1 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите треугольник по стороне и двум углам:

1) \(a = 10 \text{ см}, B = 20°, \gamma = 85°\);

2) \(b = 16 \text{ см}, a = 40°, B = 110°\).

$a = 10 \text{ см}, B = 20^\circ, \gamma = 85^\circ$

$A = 180^\circ — 20^\circ — 85^\circ = 75^\circ$

$b = \frac{10 \cdot \sin 20^\circ}{\sin 75^\circ} \approx 3.5 \text{ см}$

$c = \frac{10 \cdot \sin 85^\circ}{\sin 75^\circ} \approx 10 \text{ см}$

$b = 16 \text{ см}, a = 40^\circ, B = 110^\circ$

$\gamma = 180^\circ — 40^\circ — 110^\circ = 30^\circ$

$a = \frac{16 \cdot \sin 40^\circ}{\sin 110^\circ} \approx 11 \text{ см}$

$c = \frac{16 \cdot \sin 30^\circ}{\sin 110^\circ} \approx 8.5 \text{ см}$

$a = 10 \text{ см}, B = 20^\circ, \gamma = 85^\circ$

Для решения этого треугольника начнём с нахождения угла $A$, используя тот факт, что сумма углов треугольника всегда равна $180^\circ$:

$$A = 180^\circ — B — \gamma = 180^\circ — 20^\circ — 85^\circ = 75^\circ$$

Теперь, зная угол $A$, можем использовать закон синусов для нахождения стороны $b$. Закон синусов гласит, что:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$$

Перепишем эту формулу для нахождения $b$:

$$b = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A}$$

Подставляем известные значения:

$$b = \frac{10 \cdot \sin 20^\circ}{\sin 75^\circ}$$

Используем значения синусов для углов:

$$\sin 20^\circ \approx 0.3420, \quad \sin 75^\circ \approx 0.9659$$

Теперь подставляем их в формулу:

$$b = \frac{10 \cdot 0.3420}{0.9659} \approx \frac{3.420}{0.9659} \approx 3.5 \text{ см}$$

Таким образом, длина стороны $b$ примерно равна $3.5$ см.

Теперь, чтобы найти сторону $c$, снова применим закон синусов:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$$

Зная, что угол $C = 180^\circ — A — B$, находим $C$:

$$C = 180^\circ — 75^\circ — 20^\circ = 85^\circ$$

Теперь находим $c$ по формуле:

$$c = \frac{a \cdot \sin C}{\sin A}$$

Подставляем известные значения:

$$c = \frac{10 \cdot \sin 85^\circ}{\sin 75^\circ}$$

Используем значения синусов для углов:

$$\sin 85^\circ \approx 0.9962, \quad \sin 75^\circ \approx 0.9659$$

Теперь подставляем их в формулу:

$$c = \frac{10 \cdot 0.9962}{0.9659} \approx \frac{9.962}{0.9659} \approx 10 \text{ см}$$

Таким образом, длина стороны $c$ равна $10$ см.

Ответ для первой части задачи:

$$b \approx 3.5 \text{ см}, \quad c \approx 10 \text{ см}$$

$b = 16 \text{ см}, a = 40^\circ, B = 110^\circ$

Для начала найдём угол $\gamma$, используя тот факт, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$:

$$\gamma = 180^\circ — a — B = 180^\circ — 40^\circ — 110^\circ = 30^\circ$$

Теперь, зная угол $\gamma$, можем использовать закон синусов для нахождения стороны $a$. Закон синусов в этом случае будет выглядеть так:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$$

Перепишем эту формулу для нахождения $a$:

$$a = \frac{b \cdot \sin A}{\sin B}$$

Подставляем известные значения:

$$a = \frac{16 \cdot \sin 40^\circ}{\sin 110^\circ}$$

Используем значения синусов для углов:

$$\sin 40^\circ \approx 0.6428, \quad \sin 110^\circ \approx 0.9397$$

Теперь подставляем их в формулу:

$$a = \frac{16 \cdot 0.6428}{0.9397} \approx \frac{10.2848}{0.9397} \approx 11 \text{ см}$$

Таким образом, длина стороны $a$ примерно равна $11$ см.

Теперь, чтобы найти сторону $c$, снова применим закон синусов:

$$\frac{c}{\sin C} = \frac{b}{\sin B}$$

Зная, что угол $C = 30^\circ$, находим $c$ по формуле:

$$c = \frac{b \cdot \sin C}{\sin B}$$

Подставляем известные значения:

$$c = \frac{16 \cdot \sin 30^\circ}{\sin 110^\circ}$$

Используем значения синусов для углов:

$$\sin 30^\circ = 0.5, \quad \sin 110^\circ \approx 0.9397$$

Теперь подставляем их в формулу:

$$c = \frac{16 \cdot 0.5}{0.9397} \approx \frac{8}{0.9397} \approx 8.5 \text{ см}$$

Таким образом, длина стороны $c$ равна $8.5$ см.

Ответ для второй части задачи:

$$a \approx 11 \text{ см}, \quad c \approx 8.5 \text{ см}$$