ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 4.2 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите треугольник по стороне и двум углам:

1) \(b = 9 \text{ см}, \alpha = 35°, \gamma = 70°\);

2) \(c = 14 \text{ см}, B = 132°, \gamma = 24°\)

$b = 9 \text{ см}, \alpha = 35^\circ, \gamma = 70^\circ$

$$\beta = 180^\circ — 35^\circ — 70^\circ = 75^\circ$$ $$\frac{a}{\sin 35^\circ} = \frac{9}{\sin 75^\circ} \quad \Rightarrow \quad a = \frac{9 \cdot \sin 35^\circ}{\sin 75^\circ} \approx 5.3 \text{ см}$$ $$\frac{c}{\sin 70^\circ} = \frac{9}{\sin 75^\circ} \quad \Rightarrow \quad c = \frac{9 \cdot \sin 70^\circ}{\sin 75^\circ} \approx 8.7 \text{ см}$$

$c = 14 \text{ см}, B = 132^\circ, \gamma = 24^\circ$

$$\alpha = 180^\circ — 132^\circ — 24^\circ = 24^\circ$$ $$\frac{a}{\sin 24^\circ} = \frac{14}{\sin 24^\circ} \quad \Rightarrow \quad a = 14 \text{ см}$$ $$\frac{b}{\sin 132^\circ} = \frac{14}{\sin 24^\circ} \quad \Rightarrow \quad b = \frac{14 \cdot \sin 132^\circ}{\sin 24^\circ} \approx 25 \text{ см}$$

$b = 9 \text{ см}, \alpha = 35^\circ, \gamma = 70^\circ$

Шаг 1: Находим угол $\beta$. Сумма углов в треугольнике всегда равна $180^\circ$, поэтому:

$$\beta = 180^\circ — \alpha — \gamma = 180^\circ — 35^\circ — 70^\circ = 75^\circ$$

Шаг 2: Применяем закон синусов для нахождения стороны $a$. Закон синусов гласит, что отношение стороны треугольника к синусу угла противоположного этой стороне одинаково для всех сторон:

$$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$$

Для нахождения стороны $a$ имеем:

$$\frac{a}{\sin 35^\circ} = \frac{9}{\sin 75^\circ}$$

Переставляем выражение, чтобы найти $a$:

$$a = \frac{9 \cdot \sin 35^\circ}{\sin 75^\circ}$$

Теперь подставим значения синусов углов $35^\circ$ и $75^\circ$:

$$\sin 35^\circ \approx 0.5736, \quad \sin 75^\circ \approx 0.9659$$

Подставляем в формулу:

$$a = \frac{9 \cdot 0.5736}{0.9659} \approx 5.3 \text{ см}$$

Шаг 3: Применяем закон синусов для нахождения стороны $c$. Для нахождения $c$ используем тот же закон синусов:

$$\frac{c}{\sin 70^\circ} = \frac{9}{\sin 75^\circ}$$

Переставляем выражение, чтобы найти $c$:

$$c = \frac{9 \cdot \sin 70^\circ}{\sin 75^\circ}$$

Теперь подставим значения синусов углов $70^\circ$ и $75^\circ$:

$$\sin 70^\circ \approx 0.9397, \quad \sin 75^\circ \approx 0.9659$$

Подставляем в формулу:

$$c = \frac{9 \cdot 0.9397}{0.9659} \approx 8.7 \text{ см}$$

Итак, для первого треугольника получаем:

$$a \approx 5.3 \text{ см}, \quad c \approx 8.7 \text{ см}$$

$c = 14 \text{ см}, B = 132^\circ, \gamma = 24^\circ$

Шаг 1: Находим угол $\alpha$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:

$$\alpha = 180^\circ — B — \gamma = 180^\circ — 132^\circ — 24^\circ = 24^\circ$$

Шаг 2: Применяем закон синусов для нахождения стороны $a$. Для нахождения стороны $a$ используем закон синусов:

$$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \gamma}$$

Подставляем значения:

$$\frac{a}{\sin 24^\circ} = \frac{14}{\sin 24^\circ}$$

Так как синусы углов одинаковы, получаем:

$$a = 14 \text{ см}$$

Шаг 3: Применяем закон синусов для нахождения стороны $b$. Для нахождения стороны $b$ используем закон синусов:

$$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin \gamma}$$

Подставляем значения:

$$\frac{b}{\sin 132^\circ} = \frac{14}{\sin 24^\circ}$$

Теперь подставим значения синусов углов $132^\circ$ и $24^\circ$:

$$\sin 132^\circ \approx 0.6691, \quad \sin 24^\circ \approx 0.4067$$

Подставляем в формулу:

$$b = \frac{14 \cdot 0.6691}{0.4067} \approx 25 \text{ см}$$

Итак, для второго треугольника получаем:

$$a = 14 \text{ см}, \quad b \approx 25 \text{ см}$$